ISSN 1991-3087

Свидетельство о регистрации СМИ: ПИ № ФС77-24978 от 05.07.2006 г.

ISSN 1991-3087

Подписной индекс №42457

Периодичность - 1 раз в месяц.

Вид обложки

Адрес редакции: 305008, г.Курск, Бурцевский проезд, д.7.

Тел.: 8-910-740-44-28

E-mail: jurnal@jurnal.org

Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100
Яндекс.Метрика

УДК 532.5

Связь уравнений плоскопараллельной фильтрации с системой Карлемана.

 

Толпаев Владимир Александрович,

доктор физико-математических наук, профессор,

зав. кафедрой Прикладной математики и компьютерных технологий Северо-Кавказского Государственного Технического Университета.

Колесников Алексей Владимирович,

аспирант, инженер кафедры Прикладной математики и компьютерных технологий Северо-Кавказского Государственного Технического Университета.

 

Введение.

 

Установившаяся плоскопараллельная фильтрация несжимаемой жидкости в изотропном неоднородном пласте с проницаемостью , где  - размерная постоянная, а  - безразмерная функция декартовых координат ,  в плоскости течения, описывается системой уравнений [1]

;  .                                            (1)

В (1) через  и  обозначены потенциал  и функция тока течения (где Р – приведенное давление, а  - динамическая вязкость жидкости).

 

Связь уравнений движения жидкости с системой Карлемана.

 

Многие авторы (О. В. Голубева, Г. В. Голубев, Ю.А. Гладышев, и др.) для решения уравнений

                                              (2)

и

                                           (3)

получающихся в результате перекрестного дифференцирования системы (1), применяли подстановки

  и  .                            (4)

С помощью подстановок (4) относительно новых вспомогательных функций вместо (2) и (3) получаются уравнения Гельмгольца. Однако целесообразнее применять подстановки (4) не к разрозненным друг от друга уравнениям (2) и (3), а к исходной системе уравнений (1), так как последняя полнее описывает движение жидкости, нежели отдельно одно уравнение (2) или (3).

После подстановки (4) в систему (1), последняя, как легко проверить, примет вид:

                                               (5)

где через  обозначена функция

.                                                                                   (6)

Система уравнений (5) относится к системе уравнений Карлемана [2]. Практическая польза перехода от системы (1) к системе (5) определяется двумя факторами. Во-первых, для случаев, когда (6) является функцией одной переменной, удается модифицировать метод Н.И.Назарова, позволяющий общее решение системы (5) выразить через произвольную аналитическую функцию комплексного переменного. Заметим, что в этих случаях общее решение системы (1) по методу  Н.И. Назарова тоже выражается через произвольную аналитическую функцию, но с более сложными коэффициентами в соответствующих функциональных рядах. Во-вторых, практическая польза перехода к системе (5) определяется еще и тем, что для системы Карлемана, в отличие от системы (1), могут быть предложены итерационные методы решения, что позволит решать задачи фильтрации с помощью новых подходов.

 

Вывод уравнений для функций  и , удовлетворяющих системе Карлемана.

 

Дифференцируя первое уравнение системы (5) по , второе – по  и складывая, получим:

,(7)

где  - оператор Лапласа. Если умножить первое уравнение системы (5) на , второе – на  и сложить, получим:

,           (8)

где  - оператор «набла», , а  и  - орты декартовой системы координат. Теперь, с учетом равенства (8), уравнению (7) можно придать вид

.                                       (9)

Если в выражение  подставить (6), то после тождественных преобразований окончательно получим следующее уравнение для :

,                                                         (10)

где

.                                                                      (11)

            С помощью аналогичных выкладок для второй функции  системы (5) получаем уравнение

,                                                         (12)

где

.                                                      (13)

Эти же самые уравнения (10 и (12) получаются и в результате подстановки (4) в уравнения (2) и (3). Именно так и поступали О.В. Голубева и др. авторы, применявшие в своих решениях подстановки (4). Однако никто из этих авторов не указывал, что решения уравнений (10) и (12), описывающие одно и то же течение, сопряжены друг с другом при помощи системы уравнений Карлемана (5).

 

Литература.

 

1)         Голубева О. В. Курс механики сплошных сред. – М.: «Высшая школа», 1972.- 368с.

2)         Положий Г. Н. Теория и применение - аналитических и  - аналитических функций и их приложения. – Киев, «Наукова дума», 1973.- 423с.

 

Поступила в редакцию 11 января 2007 г.

2006-2018 © Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов.
Все материалы, размещенные на данном сайте, охраняются авторским правом. При использовании материалов сайта активная ссылка на первоисточник обязательна.