ISSN 1991-3087

Свидетельство о регистрации СМИ: ПИ № ФС77-24978 от 05.07.2006 г.

ISSN 1991-3087

Подписной индекс №42457

Периодичность - 1 раз в месяц.

Вид обложки

Адрес редакции: 305008, г.Курск, Бурцевский проезд, д.7.

Тел.: 8-910-740-44-28

E-mail: jurnal@jurnal.org

Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100
Яндекс.Метрика

Двухсеточный метод верхней релаксации решения сеточных задач теплового расчета конструкций.

 

Сухинов Александр Иванович,

доктор физико-математических наук, профессор,

Левченко Марина Николаевна,

соискатель,

Таганрогский Технологический Институт Южного Федерального Университета.

 

Особенностями задач теплового расчета конструкций (ТРК) для нестационарных режимов являются:

·                     необходимость многократно (102 – 104 раз) решать сеточные эллиптические уравнения для определения функции температуры;

·                     высокий порядок системы разностных уравнений, который в реальных задачах может составить 104 – 106;

·                     существенный разброс или даже разрыв коэффициентов уравнений.

Следствием двух последних особенностей разностных аппроксимаций задач ТРК является плохая обусловленность соответствующих систем алгебраических уравнений. Перечисленные выше особенности задач ТРК делают актуальной разработку алгоритмов, которые бы позволили уменьшить число итераций, а также решать плохо обусловленные системы разностных уравнений, либо увеличить временной шаг. Рассмотрим смешанную задачу Коши для уравнения теплопроводности вида

                  (1)

где - функция температуры, которую необходимо определить в области ,  коэффициент теплопроводности (коэффициент температуропроводности) в координатном направлении ,  коэффициенты теплопроводности (температуропроводности), в координатных направлениях  и  соответственно, которые могут сильно меняться в зависимости от переменных  и  или даже терпеть разрыв на цилиндрических поверхностях видакусочно-гладкая (плоская) кривая. Типична ситуация, когда область G является цилиндрической, на боковой поверхности и на одном из оснований которой задаются граничные условия второго-третьего рода, а на втором основании – первого рода. Далее для простоты будем рассматривать случай граничных условий первого рода. Рассматриваемый алгоритм базируется на идее алгоритма Р.П. Федоренко [1] решения сеточных эллиптических уравнений на верхнем временном слое, к которым сводится после аппроксимации неявной схемой задача (1) с соответствующими граничными условиями. В отличие от известного многосеточного метода данный алгоритм ориентирован на использование одной вспомогательной сетки; в качестве итерационного метода применяется метод верхней релаксации со специально задаваемым значением релаксационного параметра, обеспечивающим заданные спектральные свойства оператора перехода (шага) итерационной процедуры. Применение одной вспомогательной сетки в реальных задачах ТРК обусловлено необходимостью сохранения информации о положении поверхностей разрыва коэффициентов , как в основной, так и во вспомогательной задачах.

Переходим к описанию алгоритма метода без его детального теоретического обоснования, что потребовало существенного увеличения объема. В прямоугольнике G наряду с основной, в общем случае неравномерной сеткой , имеющей соответственно N1  и N2 шагов по координатным направлениям Ox1 и Ox2 соответственно (N1 и N2 - четные), построим вспомогательную сетку , имеющую  и шагов по направлениям и  соответственно.  Далее символом " ' " будем помечать сеточные функции, определенные на вспомогательной сетке . Запишем систему разностных уравнений, аппроксимирующих задачу (1) в операторном виде

            ,                                                                                                                     (2)

где  - сеточная функция температуры, обращающаяся в 0 на границе области G.

Выполним  итераций со значением релаксационного параметра  для системы уравнений (2) на основной сетке , где  - постоянная, удовлетворяющая операторному неравенству , U – верхняя треугольная матрица.

Определим на сетке  невязку , для уравнения (2) после   итераций

            .                                                                                                           (3)

Определим оптимальное на сетке  значение релаксационного параметра  

для системы

            ,                                                                                                                    (4)

где в качестве  можно взять , где

           

 - решения задач вида

                        ,

                        .

Приближенно (с точностью ) решим уравнение (4) методом верхней релаксации с найденным значением релаксационного параметра  за  итераций, где .

Линейно проинтерполируем функцию  в узлы сетки , не совпадающие с узлами сетки ; получим функцию .

Исправим функцию :       .

В результате в составе погрешности и невязки появятся высокочастотные гармоники; низкочастотные гармоники останутся примерно теми же.

Выполним  итераций с релаксационным параметром  для уравнения  и, тем самым, погасим высокочастотные гармоники в составе погрешности. Поскольку , где r – невязка для уравнения (2) до начала итерационного процесса, то  можно принять равным . Полученная сеточная функция  и будет решением системы (2) с заданной точностью .

Оценка выигрыша по числу итераций для данного алгоритма по сравнению с методом верхней релаксации в случае системы разностных уравнений, аппроксимирующих 1 краевую задачу для уравнения Пуассона в единичном квадрате G есть раз, где N- число шагов сетки в каждом из координатных направлений.

 

Литература.

 

1. Федоренко Р.П. Итерационные методы решения разностных эллиптических уравнений.  Успехи математических наук, т. 18, вып.2,1973, с. 121-181.

2. Самарский Ф.Ф., Николаев Е.Н. Методы решения сеточных уравнений. М. Наука, 1978, 592 с.

 

Поступила в редакцию 16 сентября 2007 г.

2006-2018 © Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов.
Все материалы, размещенные на данном сайте, охраняются авторским правом. При использовании материалов сайта активная ссылка на первоисточник обязательна.