Исследование гидродинамической устойчивости расплава при выращивании кристаллов методом Чохральского.

 

Гаража Евгения Васильевна,

аспирант Кубанского Государственного Университета, г. Краснодар.

Научный руководитель – доктор физико-математических наук, доцент

Тумаев Евгений Николаевич.

 

В работе [1] отмечено, что при выращивании монокристаллов методом Чох­ральского расплав является конвективно-устойчивым, т.е. в расплаве без под­питки отсутствуют вертикальные потоки массы, обусловленные осевым градиен­том температуры. Условие конвективной устойчивости авторами работы [1] в со­гласии с [2] формулируется в виде

,                                                                                                 (1)

где  – число Рэлея,  м/с²,  – коэффициент объемного расширения рас­плава,  – осевой градиент температуры в расплаве,  – высота рас­плава в тигле,  и – кинематическая вязкость и температуропровод­ность расплава,  – теплопроводность, ,  – плотность и удельная теплоем­кость соответственно.

При выполнении условия (1) распределение скоростей в расплаве является радиальным. Обычно радиальное распределение скоростей между двумя вра­щающими цилиндрами описывается как куэттовское течение жидкости [2], од­нако для расплава в тигле, увлекаемого вращением выращиваемого кристалла, оно оказывается неприменимым, поскольку не удовлетворяет условию обращения скорости расплава в нуль на внутренней боковой поверхности тигля, и, кроме того, обладает сингулярностью при , где  – радиальная координата. В связи с этим в статье [3] было изучено радиальное поле скоростей в расплаве, возникающее при вращении выращиваемого кристалла, которое выражается сле­дующей приближенной формулой

,         (2)

,

где  – угловая скорость вращения кристалла,  – его радиус,  – высота рас­плава, – отношение высоты фронта кристаллизации к радиусу кри­сталла, и  – первый корень уравнения

,

где, в свою очередь, ,  – функции Бесселя n-го порядка, и – отноше­ния радиусов тигля и кристалла.

Имеются два фактора, влияющие на устойчивость распределения скоростей (2). Во-первых, наличие осевых температурных градиентов в расплаве приводит к появлению восходящих потоков расплава, т.е. к появлению конвективной неус­тойчивости. Во-вторых, радиальное распределение скоростей (2) может оказаться неустойчивым по отношению к радиальным и осевым изменениям скорости рас­плава, что приводит к гидродинамической неустойчивости, и, как следствие, к смене ламинарного движения расплава на турбулентное.

Численные оценки числа Рэлея для выращивания монокристаллов ниобата лития методом Чохральского [4] показывают, что критерий (1) не выполняется, т.е. расплав является конвективно неустойчивым. Тем не менее, исследование гидродинамической неустойчивости расплава представляет интерес, т.к.  проис­ходящие при этом физические процессы имеют другую природу, чем те, которые порождают конвективную неустойчивость, поэтому значение числа  не свя­зано с гидродинамической неустойчивостью.

Для исследования устойчивости распределения скоростей (2) по отношению к малым возмущениям поля скоростей , т.е. гидродинамической устой­чивости, запишем уравнение Навье-Стокса в цилиндрических координатах  для компонент скорости жидкости [2,5]

 

,                                           (3)

,                                     (4)

,                                                                                   (5)

где

.                                             

Уравнения (1-3) дополняются уравнением непрерывности

.                                                                                          (6)

Для плоского стационарного течения расплава , отлична от нуля только компонента , давление , тогда из уравнений (3)-(6) получаем

,                                                                                                                         (7)

.                                                                     (8)

Функция , являющаяся осесимметричным (не зависящим от ) реше­нием этой системы уравнений, удовлетворяющим граничным условиям, соответ­ствующим движению расплава в тигле при выращивании кристаллов методом Чохральского, приведена выше.

            Исследуем малые возмущения плоского осесимметричного движения рас­плава при помощи метода медленно меняющихся амплитуд. Считая, что  возму­щения также являются плоскими, полагаем:

,                                     (9)

,       (10)

,

,

,    .

 

Так как , то параметр  – целое число. Считаем далее, что сла­гаемые, содержащие , , значительно меньше слагаемых, содержащих , . Тогда уравнения (3) и (4) с учетом (7) приобретают вид

,                              (11)

.                                               (12)

Уравнение непрерывности (6) имеет вид

,

Подставляя в (11) и (12) разложения (9)-(10), получаем

 

(13)

 

.          (14)

Умножаем  уравнение (13) на ,  и интегрируем по углу  в преде­лах от 0 до . Для дальнейшего упрощения полученных уравнений счи­таем, что в силу малости возмущений, , т.е. , вслед­ствие чего выражение (13) приводит к системе двух приближенных уравне­ний

 

,                                           (15)

,                                         (16)

где  – целое число. Аналогичным образом, интегрируя уравнение (13) по углу , получаем уравнение, отвечающие значению

 

                    (17)

 

аналогичным образом, преобразуя уравнение (14), получаем после отбрасывания малых слагаемых

,                         (18)

,                          (19)

где . При  получаем уравнение

 

               (20)

В линейном приближении уравнения (17) и (20) имеют вид

,                                                                                                          (21)

=0.                                                                                                                       (22)

Граничные условия выбираем в виде, отвечающем исчезновению малых возму­щений на внутренней стенке тигля

,

.

В этом случае можно считать, что , , и из уравнений (21)-(22) получаем , , что согласуется с распределением скоростей в нулевом приближении [3].

            Преобразуем уравнение непрерывности, которое запишем в виде

.

Разложив, как и выше, величины  и  в ряды по тригометрическим функциям, получаем

 

,                                                          (23)

где .

Полагаем далее , , тогда система уравнений (15), (16), (18), (19), (23) запишется в виде

 

,                      (24)

,                     (25)

,             (26)

,                       (27)

 ,                                                            (28)

.                                                            (29)

 

В соответствии с общими методами исследования устойчивости движения несжимаемой жидкости [6] ищем решение системы (24)-(29) в виде . Так как , устойчивое движение жидкости отвечает значе­ниям характеристического показателя . Составляем характеристическую мат­рицу приведенной системы

 

           

Численный анализ секулярного уравнения, полученного с помощью харак­теристической матрицы, позволяет определить области значений параметров сис­темы, отвечающие устойчивому плоскому ламинарному движению расплава в тигле. Явный вид характеристической матрицы показывает, что, как и в большин­стве случаев,   определяющим параметром, определяющим смену режима движе­ния расплава, является комбинация скорости движения расплава  , кинематиче­ской вязкости  и радиуса тигля , т.е. число Рейнольдса.

 

Литература.

 

1.                  Смирнов П.В., Антонов П.И. Отсутствие свободной конвекции расплава в ме­тоде Чохральского в земных условиях // Тезисы XII Национальной конферен­ции по росту кристаллов, 23-27 октября 2006 г.

2.                  Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М., Наука, 1986, 733 с.

3.                  Тумаев Е.Н., Гаража Е.В. Распределений скоростей в расплаве при выращивании кристаллов методом Чохральского // Физико-химический анализ свойств многокомпонентных систем [Электронный ресурс]. – Краснодар: КубГТУ, 2006 – Электронный научный журнал. – вып.4. – Режим доступа: http://kubstu.ru/fh/fams/st9.doc – Зарегистрировано НТЦ «Информрегистр» 1.03.2007 под номером 0420600011/0009

4.                  Kitashima T., Liu L., Kitamura K., Kakimoto K. Effect of shape of an inner crucible on convection of lithium niobate melt in a double-crucible Czochralski process using the accelerated cruicible rotation technique // Journal of Crystal Growth, 2004, 267, p.574-582.  

5.                  Слезкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости. М., ГИТТЛ, 1955, 520 с.

6.                  Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М. Конвективная устойчивость несжимаемой жид­кости. М., «Наука», 1972, 392 с.\

 

Поступила в редакцию 2 октября 2007 г.