Моделирование динамики нефтяного пятна в прибрежной области.

 

Чередниченко Владимир Георгиевич,

старший преподаватель кафедры Физики,

Оби Эммануэль Оду,

аспирант кафедры Физики.

Кубанский Государственный Технологический Университет, г. Краснодар.

 

Моделирование динамики нефтяного пятна является важным инструментом для определения направления движения нефти, разлитой в море. Это позволяет, при наличии разлива в прибрежной области, своевременно предсказать направление движения пятна, время, которое потребуется ему, чтобы достичь берега и оценить возможные экологические последствия для подвергшейся загрязнению береговой зоны. Результаты моделирования смогут помочь правительству и спасательным службам заблаговременно спланировать все необходимые меры на случай непредвиденного разлива нефти и дают возможность выбрать наилучший метод очистки окружающей среды, если разлив все-таки  произойдет. Как только характер движения нефтяного пятна становится известным, в нужных местах может быть установлено необходимое очистное оборудование, что поможет избежать экологической катастрофы [3].

В настоящей статье рассматривается математическая модель динамики нефтяного пятна на основе двумерного уравнения нестационарной диффузии при наличии конвективного поля скоростей:

,                                     (1)

здесь  C  – концентрация нефти, кг/м²; t – время, с; v_x, v_y – компоненты вектора скорости течения, в общем случае зависящие от времени, м/с²; x,y – декартовы координаты; K – коэффициент турбулентной диффузии, м²/с. и функция f(C) описывает  процесс деструкции пятна. Дополнительно к данному уравнению использовались краевые условия, приведенные ниже.

Для численного решения краевой задачи можем применялся неявный алгоритм переменных направлений при наличии регуляризации конечно-разностной схемы конвективно-диффузионного процесса. Данная схема показала хорошую устойчивость и аппроксимацию во всем интересующем диапазоне скоростей.

Остановимся вкратце на основных моментах решения указанной краевой задачи.

 

Исходная краевая задача.

 

Рассмотрим двумерное нестационарное уравнение конвективной диффузии:

,                                           (2)

 

                                    (3)

 

Перейдем в уравнении (2) к следующим обозначениям:

                          (4)

 

Сведение к цепочке одномерных задач.

 

            С целью построения экономичного вычислительного алгоритма сведем задачу (3), (4) к цепочке одномерных задач посредством метода суммарной аппроксимации [1]. Для этого представим уравнение (4) в виде суммы «одномерных» уравнений:

                                                                  (5)

Каждый временной интервал шириной  разобьем на две части и, обозначив -полуинтервал , будем последовательно решать уравнения

,                                                             (6)

Полагая при этом

.                              (7)

Решением этой задачи будем считать

 

Конечно-разностная аппроксимация.

 

Каждое из «одномерных» уравнений (6) заменим неявной 2-слойной разностной схемой, аппроксимируя и  соответствующими разностными выражениями на сетке с шагами :

,                                                                                   (8)

 где. При построении разностного оператора  необходимо учесть следующее обстоятельство:  наличие в операторе  (3) конвективного слагаемого с произвольным значением  требует построения специальной монотонной схемы, удовлетворяющей требованиям  аппроксимации и устойчивости вычислительного процесса [1]. С этой целью, заменим оператор  возмущенным оператором

                                   (9)

Представим   в виде суммы

 и аппроксимируем  выражением , где .  В результате указанной аппроксимации мы получаем следующее выражение:

                 (10)

Подставляя полученное выражение (10) в (8), получаем на каждом временном полушаге следующее трехдиагональное матричное уравнение:

,                             (11)

,                                                                        (12)

которое решается стандартным методом прогонки с затратой машинного времени порядка .

В силу построения оператора (10) погрешность аппроксимации есть . Коэффициенты трехдиагональной матрицы (12) удовлетворяют условию принципа максимума для матричного уравнения (12): , что гарантирует устойчивость вычислительной процедуры метода прогонки [1].

Таким образом для решения исходной задачи (2), (3) применяется экономичный локально одномерный алгоритм, согласно которому, на каждом временном подынтервале решаются трехдиагональные матричные уравнения (11) с коэффициентами (12). Решения этих уравнений образуют цепочку (7) с начальным и конечным значениями искомой величины  и на каждом временном шаге. Указанная схема обеспечивает первый порядок аппроксимации по временному  и второй порядок по пространственному  шагам и обеспечивает безусловную устойчивость счета при любых . Полученный программный комплекс, названный “slickmovement”, использовался для моделирования нефтяного разлива в прибрежных водах Республики Нигерии.

Для изучения разлива нефти были выбрана точка, расположенная в 70 км (5⁰33’16.30” северной широты и 4⁰06’11.94” восточной долготы)  от Нигерийской береговой линии. Расчеты проводились для дождливого (с апреля по ноябрь) и сухого (с декабря по март) сезонов, характерных для тропического климата нигерийского побережья.

Течение в прибрежных водах Нигерии в сезон дождей имеет скорость 30 см/с и достигает морского дна в местах с глубинами менее 50 м, [2]. В сухой сезон нефтяное пятно перемещается течением Benguela. Shannon (1985), собрал всю доступную информацию о поверхностной скорости из предыдущих исследований и вычислил среднюю скорость течения Benguela, которая получилась равной 17 см/с. Wedepohl (2000), нашел что средние скорости течения изменяются от 11 см/с до 23 см/с.

Результаты эксперимента представлены на рис. 1-6.

Первоначальная площадь разлива нефти была принята равной 78.5 км². Расположение разлива и направление поверхностного течения представлены на рисунке 1.

 

Рис. 1.

Начальное положение нефтяного пятна и течение в прибрежных водах Нигерии в сухой сезон.

 

Рис. 2.

Смещение нефтяного пятна через 16 часов в сухой сезон.

 

Мы можем легко проследить траекторию нефтяного пятна и узнать место, где произойдет его выход на берег.

 

Рис. 3.

Траектория  движения нефтяного пятна в сухой сезон.

 

Для сезона дождей поведение нефтяного разлива представлено на рис. 4,5 и 6.

 

Рис.4.

Начальное положение нефтяного пятна и течение в прибрежных водах  Нигериии в сезон дождей.

 

Рис. 5.

Смещение нефтяного пятна через 12 часов в сезон дождей.

 

Рис. 6.

Траектория нефтяного пятна в сезон дождей.

 

Согласно результатам моделирования, траектория нефтяного разлива будет иметь вид, как показано в рис.6.  Разница во времени, через которое нефть достигнет берега, обусловлена сезонной разницей в скорости и направлении течения.

Результаты моделирования показывают зависимость нефтяного разлива, траектории движения нефтяного пятна и времени достижения береговой линии от сезонного характера  морского течения в изучаемой области.

 

Литература.

 

1. Самарский А.А. Теория разностных схем.: Учебное пособие.-М.: Наука.  1983.-616 с.

2. Arnault, S., (1987): Tropical Atlantic geostrophic currents and ship drifts, Journal of Physical Oceanography, volume 18.

3. Gregory, C.L., A.A. Allen, and D.H. Dale. 1999. Assessment of potential oil spill recovery capabilities. Proc. 1999 International Oil Spill Conference: pp. 527 – 534.

4. Shannon, L.V., (1985): The Benguela Ecosystem, I., Evolution of the Benguela,  physical Features and processes. Oceanography and Marine Biology, 23,   105-182.

5. Wedepohl, P.M., J.R.E. Lurjeharms, and J.M. Meeuwis, (2000): Surface drift in the southeast Atlantic Ocean. South African Journal of Marine Science, 22, 71-79.

 

Поступила в редакцию 02.06.2008 г.