ISSN 1991-3087

Свидетельство о регистрации СМИ: ПИ № ФС77-24978 от 05.07.2006 г.

ISSN 1991-3087

Подписной индекс №42457

Периодичность - 1 раз в месяц.

Вид обложки

Адрес редакции: 305008, г.Курск, Бурцевский проезд, д.7.

Тел.: 8-910-740-44-28

E-mail: jurnal@jurnal.org

Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100
Яндекс.Метрика

Интерполяция установившихся и переходных электрических величин в ЭЭС

 

Гэ Цюнь,

аспирантка.

Научный руководитель – кандидат технических наук, доцент

Арцишевский Ян Леонардович.

Московский энергетический институт (Технический университет).

 

При анализе и проведении исследований установившихся и переходных электрических величин в электроэнергетических системах (ЭЭС) используют следующие способы:

— теоретические аналитические расчеты с использованием различных математических методов, в частности на основе комплексных, символических методов [1] по интервалам времени с постоянными параметрами и конфигурацией расчетной схемы с выдачей результатов расчетов в форме расчетных выражений и цифровых значений электрических величин;

— теоретическое математическое и физическое моделирование по заданным параметрам конфигурации моделируемого объекта с выдачей результатов в форме осциллограмм и их цифровых значений. Для сопоставления с результатами аналитических методов требуется нахождение интерполирующего аналитического представление в виде расчетного выражения;

— практические эксперименты в участке реальной ЭЭС с получением результатов в форме цифровых осциллограмм с помощью цифровых терминалов релейной защиты и автоматики и цифровых регистраторов. Найденные по цифровым осциллограммам интерполирующие расчетные выражения по интервалам сопоставляют с аналитическими формулами.

В перечисленных случаях электрическая величина, например, ток i(t) может быть представлена по интервалам аналитически в виде мнимой части суммы n функций комплексных переменных [2]:

i(t) = Im{exp[t( + jwk)]},                                                                      (1)

где  = Imk Ðak ¾ комплексная амплитуда k-ой слагающей;  + jwk =  = sk Ðjsk ¾ комплексная частота k-ой слагающей [3].

В последних двух случаях по данным в форме цифровых осциллограмм необходимо найти значения параметров каждой составляющей в выражении (1). Целью данной работы является разработка алгоритма определения основных показателей итерационного процесса нахождения значений параметров каждой составляющей интерполяционного аналитического расчетного выражения для представления установившихся и переходных электрических величин в ЭЭС.

Задан интервал времени, т.е. сегмент цифровой осциллограммы тока или напряжения. На этом сегменте имеются две составляющие: синусоида с промышленной частотой (50 Гц) и экспонента. Аналитическая формула в дискретной форме, например, для тока представляется

i(n) = is(n) + ia(n),                                                                                                     (2)

где

is(n) = Im sin(w0n·Tд+ j),                                                                                          (3)

ia(n) = Aa exp().                                                                                          (4)

Im, w0 и j ¾ амплитуда, угловая частота и начальная фаза синусоиды;

Aa, Тa ¾ начальная амплитуда и постоянная времени экспоненты;

fд и Тд — частота и период дискретизации цифровой осциллограммы тока.

Известны только дискретные значения суммы в моменты дискретизации. Частота дискретизации выбрана fд = 600 Гц (период дискретизации Тд = 1/600 с), т.е. на периоде промышленной частоты (50 Гц) длительностью 20 мс наблюдается N0 = 12 моментов.

В задаче требуется определить способ организации итерационного этапа нахождения интерполирующего выражения в той же форме записи на одном периоде (20 мс), т.е. определить Im, j, Aa и Ta. Среднеквадратическое отклонение исходного процесса i(n) и найденного аппроксимирующего процесса i¢(n) на заданном периоде рассчитывается по выражению:

d(%) = · 100 % < 1 %,                                                   (5)

при этом максимальное отклонение, т.е. так называемая в области электроэнергетики полная погрешность [4] определяется по выражению:

em(%) = · 100 % < 1 %.                                                        (6)

Рассмотрим электрическую величину — ток, являющийся суммой двух составляющих — синусоиды и экспоненты:

i(t) = is(t) + ia(t),                                                                                                        (7)

где четыре параметра (Im, j, Aa и Ta) полностью определяют значения синусоидальной и экспонентной составляющих этого тока по выражениям:

is(t) = Im sin(w0t + j),                                                                                                (8)

ia(t) = Aa exp().                                                                                                (9)

Если периодическая составляющая тока не синусоидальна, то она разлагается на сумму гармонических синусоидальных составляющих.

Как известно, анализ электрических величин сложной формы часто удобнее выполнить, разложив исходную функцию на гармонические составляющие при использовании Фурье анализа [5]. Так как при ограниченном числе членов ряд Фурье обеспечивает наилучшее в смысле среднеквадратической погрешности приближение к исходному сигналу, а при увеличении числа членов ряда Фурье до бесконечности среднеквадратическая погрешность разложения стремится к нулю.

В тригонометрической форме ряд Фурье тока имеет вид

i(t) =  + coskw0t + sinkw0t,                                                              (10)

где k = 1, 2, 3, ... — номер гармоники.

Весовые коэффициенты при гармониках a0, a1, b1, …, ak, bk, …, можно найти по следующим формулам:

a0 = dt, ak = coskw0tdt, bk = sinkw0tdt.                   (11)

Через весовые коэффициенты ряда Фурье определяются:

— уровень постоянной составляющей в токе

A0 = ,                                                                                                                  (12)

— амплитуда любой гармоники

Ak =,                                                                                                        (13)

— и ее начальная фаза

tg(jk) = .                                                                                                             (14)

Видно, что при реализации Фурье анализа тока i(t) из-за существования в нем экспоненты появляется уровень постоянной составляющей [5]:

A0(t) =  = (t) dt = is(t) + ia(t)] dt =

= Im sin(w0t + j) + Aa exp()] dt.                                                          (15)

Поскольку

Im sin(w0t + j)] dt = 0,                                                                                       (16)

то

A0(t) = Aa exp()] dt =

= ·[1 - exp(-)]·exp() = A0m·exp().                                         (17)

Сравнивая (17) с (9), видно,

A0(t) = K× ia(t),                                                                                               (18)

и

A0m = K · Aa,                                                                                                             (19)

где A0m — начальная амплитуда экспоненты (17);

K = ·[1 - exp()].                                                                                        (20)

Из выражений (19) и (20) видно, что если значения параметров A0m и K известен, то по (19) можно найти значения параметров экспоненты (Тa и Aa), и далее найти значения параметров синусоиды (j и Im).

Зависимость K от постоянной времени Тa приведена на рис. 1. Значение K при постоянная времени Тa > 0 находится в диапазоне (0,1).

 

Рис. 1. Зависимость K от постоянной времени Тa.

 

В области электроэнергетики рассматривается только случай Тa > 0, и зависимость при этом K от Тa (0 < Тa £ 0,2) показана на рис. 2. Для нахождения значения параметров Тa и Aa зависимость K от Тa должна быть заранее подготовлена в форме таблицы (см. табл. 1).

 

Рис. 2. Зависимость K от постоянной времени Тa при 0 < Тa £ 0,2.

 

Таблица 1.

Справочные значения K и Тa.

K

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,10

0,11

0,12

0,13

0,14

Тa(мс)

1

1,20002

1,40004

1,60006

1,80008

2,0001

2,200843

2,401586

2,602329

2,803071

K

0,15

0,16

0,17

0,18

0,19

0,20

0,21

0,22

0,23

0,24

Тa(мс)

3,00389

3,20864

3,413391

3,618141

3,822891

4,028865

4,242677

4,456489

4,670301

4,876481

K

0,25

0,26

0,27

0,28

0,29

0,30

0,31

0,32

0,33

0,34

Тa(мс)

5,104376

5,33227

5,560164

5,770936

6,017241

6,263547

6,509852

6,756158

7,002683

7,270995

K

0,35

0,36

0,37

0,38

0,39

0,40

0,41

0,42

0,43

0,44

Тa(мс)

7,539308

7,80762

8,083089

8,376688

8,670288

8,963887

9,281994

9,603537

9,92508

10,27

K

0,45

0,46

0,47

0,48

0,49

0,50

0,51

0,52

0,53

0,54

Тa(мс)

10,622

10,975

11,358

11,743

12,14

12,561

12,981

13,439

13,897

14,387

K

0,55

0,56

0,57

0,58

0,59

0,60

0,61

0,62

0,63

0,64

Тa(мс)

14,885

15,416

15,957

16,538

17,133

17,765

18,427

19,115

19,845

20,617

K

0,65

0,66

0,67

0,68

0,69

0,70

0,71

0,72

0,73

0,74

Тa(мс)

21,428

22,284

23,191

24,154

25,179

26,272

27,439

28,685

30,018

31,464

K

0,75

0,76

0,77

0,78

0,79

0,80

0,81

0,82

0,83

0,84

Тa(мс)

33,012

34,698

36,525

38,516

40,692

43,084

45,733

48,671

51,888

55,642

K

0,85

0,86

0,87

0,88

0,89

0,90

0,91

0,92

0,93

0,94

Тa(мс)

59,819

64,597

70,102

76,528

84,117

93,22

104,346

118,238

136,104

159,944

K

0,95

0,96

0,97

0,98

0,99

 

 

 

 

 

Тa(мс)

193,28

243,312

326,667

493,25

993

 

 

 

 

 

           

Для исследования погрешности d от K из рис. 2 выбран ряд точек. На каждой точке — это пара значений K и Тa. При заданных K и Тa по (19) можно найти расчетные значения Тaр и Aaр, что и по (9) можно найти предварительную форму составляющей экспоненты iaр(t). Из исходного тока компенсируется -iaр(t), и получается разность i¢s(t) = i(t) -iaр(t). Используется Фурье анализ i¢s(t), и можно найти расчетные значения jр и I, что и по (8) найти предварительную форму составляющей синусоиды isр(t). Так, по (7) сумма iр(t) = isр(t) + iaр(t) — это найденная аппроксимирующая форма (интерполяция) [6]. По (5) можно найти погрешности d, причем она является зависимостью от K, иными словами, зависимостью от значений Тa.

Как известно, начальное значение экспоненты зависит от фазы тока в момент возникновения КЗ. Так, для практического исследования погрешности d от значений Aa и Ta выбраны варианты набора начальной фазы (j) тока и постоянной времени (Ta) экспоненты, приведенных в табл. 2.

Для определения первого приближения итерационного значения начальной амплитуды A0m используется оценка

A0m = .

 

Таблица 2.

Варианты набора j, Ta и значения Aa, Im.

Ta(с)

j (°)

1

2

3

4

5

6

0,006

0,01

0,02

0,03

0,06

0,2

0

0

Aa

0

0

0

0

0

0

Im

5

5

5

5

5

5

1

30

Aa

-2

-2

-2

-2

-2

-2

Im

5

5

5

5

5

5

2

60

Aa

-3,4641

-3,4641

-3,4641

-3,4641

-3,4641

-3,4641

Im

5

5

5

5

5

5

3

90

Aa

-4

-4

-4

-4

-4

-4

Im

5

5

5

5

5

5

4

120

Aa

-3,4641

-3,4641

-3,4641

-3,4641

-3,4641

-3,4641

Im

5

5

5

5

5

5

5

150

Aa

-2

-2

-2

-2

-2

-2

Im

5

5

5

5

5

5

               

Поскольку значение K находится в диапазоне (0,1), то для расчета погрешности d выбрано 95 точек: K = 0,05, 0,06, ..., 0,98, 0,99.Например, в случае K1 = 0,05, по зависимости K от Тa (рис. 2 или табл. 1) можно найти соответственное значение Тaр1 = 0,001. Расчетное начальное значение экспоненты получается по формуле (19):

Aaр1 = .

По расчетным значениям Тaр1 и Aaр1 аппроксимируют дискретную форму экспоненты по формуле (4)

iaр1(n) = Aaр1 exp().

Компенсируя исходные дискретные значения тока расчетными значениями - iaр1(n), получаются дискретные значения     i¢sр1(n) = i(n) - iaр1(n). Расчетные значения параметров Imр1 и jр1 получаются по дискретному преобразованию Фурье (ДПФ):

a11 = cos, b11 = sin, 

Imр1 = , jр1 = arctg().

По расчетным значениям Imр1 и jр1 аппроксимируют расчетную дискретную форму синусоиды по формуле (3) isр1(n) = Imр1 sin(w0n·Tд+ jр1).

Так, аппроксимируемая дискретная форма тока i1(n) получается по формуле (1) на основе полученных расчетных значений Aaр1, Тaр1, I1 и jр1:

i1(n) = isр1(n) + iaр1(n).

При этом среднеквадратическое отклонение исходных дискретных значений тока i(n) и найденных дискретных значений i1(n):

d1 (%) =  · 100 %.

Далее при K = 0,06, 0,07, ..., 0,98, 0,99 делаем расчет и получаем значения d2, d3, ..., d94, d95. Например, ток в случае варианта 21(Тa = 0,006 с, j = 60°) в табл. 1 показан на рис. 3. По вышеуказанному методу проводится расчет погрешности d при K = 0,05, 0,06, ..., 0,98, 0,99 и получаются значения d1, d2, ..., d94, d95. Результат расчета приведен на рис. 3. Таким образом, погрешности d при вариантах 21, 22, 23, 24, 25 и 26 приведены на рис. 3 - 8 (из-за объема статьи здесь показано только эти 6 вариантов).

Когда заданная начальная фаза j = 0, расчетное Aa » 0, поэтому погрешность d не зависит от K, и здесь эти варианты не рассматриваются.

 

Рис. 3. Погрешность d в случае Тa = 0,006 с, j = 60° (вариант 21).

 

Рис. 4. Погрешность d в случае Тa = 0,01 с, j = 60° (вариант 22).

 

Рис. 5. Погрешность d в случае Тa = 0,02 с, j = 60° (вариант 23).

 

Рис. 6. Погрешность d в случае Тa = 0,03 с, j = 60° (вариант 24).

 

Рис. 7. Погрешность d в случае Тa = 0,06 с, j = 60° (вариант 25).

 

Рис. 8. Погрешность d в случае Тa = 0,2 с, j = 60° (вариант 26).

 

Из приведенных рисунков и расчета видно, что во всех случаях (варианты набора j и Ta) при расчетных значениях Taр и Aaр существует только один минимум dmin. Значения среднеквадратической dmin и полной погрешности em при расчетных значениях параметров Taр, Aaр, jр и Imр приведены в табл. 3.

 

Таблица 3.

Значения погрешностей dmin и em (1-й этап).

Ta(с)

j (°)

1

2

3

4

5

6

0,006

0,01

0,02

0,03

0,06

0,2

1

30

dmin(%)

8,33613

7,319491

5,247123

4,003601

2,314094

0,835857

em(%)

1,96

2,047

1,906

1,51

0,8468

0,2217

2

60

dmin(%)

14,438593

12,677724

9,088279

6,934436

4,008126

1,447746

em(%)

3,416

3,566

3,313

2,621

1,468

0,3839

3

90

dmin(%)

16,672259

14,638982

10,494245

8,071925

4,628188

1,671714

em(%)

3,971

4,122

3,816

2,039

1,693

0,4434

4

120

dmin(%)

14,438593

12,677724

9,088279

6,934436

4,008126

1,447746

em(%)

3,44

3,552

3,286

2,604

1,463

0,3842

5

150

dmin(%)

8,33613

7,319491

5,247123

4,003601

2,314094

0,835857

em(%)

1,974

2,039

1,891

1,5

0,8438

0,2218

           

Из результатов расчета в табл. 3 видно, что погрешности вариантов 16 и 56 в первом расчетном этапе уже находятся в диапазоне допустимой (d < 1 % и em < 1 %). Это означает, что значения параметров Taр, Aaр, jр и Imр вариантов 16 и 56 могут быть найдены в первом расчетном этапе.

Для понижения погрешности d и получения более точных значений Taр, Aaр, jр и Imр других вариантов необходим дальнейший расчетный этап при использовании метода подбора. Для этого за предварительные значения Taр, Aaр приняты именно те значения, полученные в первом расчетном этапе.

Кроме вариант 16 и 56, после нахождения расчетных при dmin предварительных значений Taр, Aaр, jр и Imр необходимо найти более точные их значения для того, чтобы d < 1% и em < 1%. На основе полученных в первом этапе значений Taр, Aaр, jр и Imр возьмем

(1-25%)Taр, (1-24%)Taр, ..., (1-1%)Taр, (1+0%)Taр, (1+1%)Taр, ..., (1+24%)Taр, (1+25%)Taр;

(1-25%)Aaр, (1-24%)Aaр, ..., (1-1%)Aaр, (1+0%)Aaр, (1+1%)Aaр, ..., (1+24%)Aaр, (1+25%)Aaр.

По вышеуказанному методу делается расчет для каждой комбинации Taр и Aaр значений jр, Imр и при этом погрешности d и em. Например, для варианта 21 (Taр = 7,002683´10-3с, Aaр = -3,478123) первая комбинация

Ta1 = (1-25%)×7,002683´10-3с, Aa1 = (1-25%)×(-3,478123).

Рассмотренным методом можно получить значения j1, Im1, и значения погрешностей d1 и em1. Для второй комбинации

Ta2 = (1-24%)×7,002683´10-3с, Aa1 = (1-24%)×(-3,478123)

получается j2, Im2, d2 и em2.

Для вариантов (кроме 16 и 56) в табл. 3 набор комбинаций Taр и Aaр приведена в табл. 4 рассчитываются в случае каждой комбинации минимум d и em и при этом Ta, Aa, j и Im. Результат расчета приведен в табл. 5.

 

Таблица 4.

Набор комбинаций Taр и Aaр для вариантов (кроме 16 и 56).

Aaр

Taр(с)

1-25%

1-24%

......

1-1%

1

1+1%

......

1+24%

1+25%

1-25%

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1-24%

 

 

 

 

 

 

 

 

 

......

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1-1%

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1+1%

 

 

 

 

 

 

 

 

 

......

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1+24%

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1+25%

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 5.

Значения погрешностей dmin и em (2-й этап).

Ta(с)

j (°)

1

2

3

4

5

6

0,006

0,01

0,02

0,03

0,06

0,2

1

30

dmin(%)

0,257844

0,160617

0,12641

0,12272

0,243591

——

em(%)

0,09846

0,04836

0,0564

0,02993

0,09151

——

2

60

dmin(%)

0,446599

0,278166

0,218916

0,212509

0,42182

0,508434

em(%)

0,1704

0,08376

0,09769

0,05184

0,1585

0,3193

3

90

dmin(%)

0,515688

0,321235

0,252762

0,502157

0,487103

0,587089

em(%)

0,1967

0,09672

0,1128

0,317

0,183

0,3684

4

120

dmin(%)

0,446599

0,278166

0,218916

0,212509

0,42182

0,508434

em(%)

0,1705

0,08374

0,09765

0,05184

0,1586

0,3188

5

150

dmin(%)

0,257844

0,160617

0,12641

0,12272

0,243591

——

em(%)

0,09848

0,04835

0,05638

0,02993

0,09157

——

               

Из табл. 5 видно, что в случаях всех вариантов после второго расчетного этапа получились результирующие значения Ta, Aa, j и Im, удовлетворяющие требованиям d < 1% и em < 1%.

Так, результаты расчета в табл. 3 и 5 показывают, что по приведенному в данной работе методу за два расчетных этапа возможно найти интерполяционные значения сегмента электрической величины длительностью один период с двумя составляющими — экспонентой и синусоидой.

 

Обобщая вышеприведенные исследования можно принять следующий  алгоритм интерполяции переходных и установившихся электрических величин, приведенный на рис. 9.

В алгоритме предусматривается следующие преобразование и расчеты:

Ввод необходимых исходных данных.

Ввод исходных данных: значений промышленной частоты  f0 (или w0), частоты дискретизации fд (или периода дискретизации Тд), зависимости K от Тa и др. Поскольку K = 0,05, 0,06, ..., 0,98, 0,99, для экономии запоминающего устройства вводятся только значения K от Тa на этих 95 точках, приведенные в приложении.

Предварительный Фурье анализ и аппроксимация синусоидой.

Ввод цифровых данных осциллограммы длительностью один период, например, значений тока i(n) при n = 0, ..., N0 (N0 = fд/f0 — это число цифровых данных на одном периоде). Фурье анализ по следующим формулам

A0 = ,

a1 = cos, b1 = sin.

Так, амплитуда и начальная фаза Im = , j = arctg().

То ток i(n) можно аппроксимировать i¢(n) = Im sin(w0n·Tд+ j).

При этом полная погрешность

em(%) = · 100 %.

 

Рис. 9. Блок алгоритма интерполяции электрических величин.

 

Если em(%) < 1%, то ток на этом периоде является синусоидальным. Результирующие окончательные значения — это j и Im.

Первый расчетный этап.

Когда e(%) > 1 %, расчет состоит как максимум из двух этапа. Первым является нахождение значений Ta, Aa, j и Im при K = 0,05, 0,06, ..., 0,98, 0,99 чтобы среднеквадратическое отклонение

d (%) = · 100 % = min.

При составлении программного обеспечения можно снизить объем расчета, поскольку зависимость d от K при K = 0,05, 0,06, ..., 0,98, 0,99 имеет только один минимум. Поэтому расчет нужно делаться только до dK(%) < dK+0,01(%).

Второй расчетный этап.

После нахождения dmin и при этом значений Ta, Aa, j и Im если dmin < 1%, то проверяется полная погрешность по

em(%) = · 100 %.

Если em(%) < 1%, то параметры Ta, Aa, j и Im — это окончательные значения, удовлетворяющие допустимому условию em(%) < 1%.

Если dmin > 1%, то предусматривается второй расчетный этап. Для экономии объема расчета при каждом выбранном Ta (см. табл. 4) можно делать расчет до d(%) < 1% и em(%) < 1%. При этом параметры Ta, Aa, j и Im — это окончательные значения.

Если за два этапа расчетного процесса не удается подобрать значения параметров апериодической составляющей и гармоник периодической составляющей, то выявляется невозможность представить сегмент осциллограммы в искомой форме суммы экспоненты и синусоидальных гармоник.

Таким образом в работе получен алгоритм и разработаны численные примеры нахождения значений параметров интерполирующего выражения для представления установившихся и переходных электрических величин в участке ЭЭС, причем окончательные значения параметров определяется всего за два расчетных этапа. Если после второго этапа удовлетворяющих условию d(%) < 1% и em(%) < 1% параметров не удается определить, то данный сегмент не представляется суммой синусоидальных гармоник и экспоненты, так как в состав электрических величин входят и другие слагающие.

Разработанный алгоритм рекомендуется использовать для сжатия аварийной информации в форме цифровых осциллограмм.

 

Литература.

 

1. Нейман Л. Р., Демирчян К. С., Теоретические основы электротехники: В 2-х т. Учебник для вузов. Том 1. – 3-е изд., перераб. и доп. – Л.: Энергоиздат. Ленингр. отд-ние, 1981. – 536 с.

2. Лосев С. Б., Чернин А. Б., Расчет электромагнитных переходных процессов для релейной защиты на линиях большой протяженности. М., «Энергия», 1972. – 144 с.

3. Арцишевский Я. Л., Гипервекторное представление непериодических несинусоидальных электрических величин, Известия ВУЗов, т. Электромеханика, 1978г., № 8, стр. 817 – 821.

4. Казанский В. Е., Измерительные преобразователи тока в релейной защите. – М.: Энергоатомиздат, 1988. – 240 с.

5. Харди Г. Х., Рогозинский В. В., Ряды Фурье. М., Физматгиз. 1962г., 156 с.

6. Хемминг Р. В., Численные методы (для научных работников и инженеров). М., 1972 г., 400 с.

 

Поступила в редакцию 08.10.2008 г.

2006-2017 © Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов.
Все материалы, размещенные на данном сайте, охраняются авторским правом. При использовании материалов сайта активная ссылка на первоисточник обязательна.