ISSN 1991-3087

Свидетельство о регистрации СМИ: ПИ № ФС77-24978 от 05.07.2006 г.

ISSN 1991-3087

Подписной индекс №42457

Периодичность - 1 раз в месяц.

Вид обложки

Адрес редакции: 305008, г.Курск, Бурцевский проезд, д.7.

Тел.: 8-910-740-44-28

E-mail: jurnal@jurnal.org

Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100
Яндекс.Метрика

Значимость определений и теорем при решении математических задач.

 

Азизян Инара Артушовна,

соискатель кафедры математического анализа Рязанского Государственного Университета,

старший преподаватель Рязанского Политехнического Института.

 

Типичной ошибкой при решении математических задач в школьном курсе является пренебрежительное отношение к математическим определениям. Подчас задачи, имеющие простые объяснения на основе определений, усложняются из-за ненужных действий. Иногда на практике решения задач основываются не на аксиомах, определениях, теоремах, а  на разного рода побочных соображениях.

Например, рассмотрим уравнение «». Для решения данного уравнения возводят обе части в квадрат, накладывают дополнительное ограничивающее условие «».

Имеем равенство «». Равенство является объектом предметного языка. Что представляет собой это равенство? Чтобы понять это, достаточно обратиться к определению арифметического корня. Равенство «» говорит: есть арифметический квадратный корень из . В соответствии с определением арифметического квадратного корня это означает: есть неотрицательное число, квадрат которого равен А, или  и  [1].

То есть в силу определения арифметического квадратного корня  

Пример. Решите уравнение .

Для начала обратимся к работе В. Рыжика [2]. В ней говорится, что любое уравнение вида равносильно системе

Купить пластиковый чемодан

Фирмы: Delsey, Samsonite, RONCATO! Чехлы для чемоданов

chemodan.club

Далее, приводится вот такое доказательство.

 Если является корнем уравнения , то справедливо числовое равенство , то и ; значит, является решением системы .

 Если  является решением системы то есть справедливо числовое равенство и , то ; поскольку , , значит, является корнем уравнения .

Между тем достаточно рассуждать, не выходя за пределы предметного языка, оперируя только определением арифметического корня.

В соответствии с определением арифметического квадратного корня это означает: есть неотрицательное число, квадрат которого равен , или  и .

Если следовать схеме, предложенной выше, то придется проделать ненужные операции.

 Пусть корень уравнения , то есть справедливо числовое равенство  Значит  и , то есть  является решением системы .

Пусть  является корнем системы , то есть справедливо числовое равенство  и , то , так как , то , то есть , значит является корнем уравнения .

Между тем, по определению арифметического корня следует, что число  есть неотрицательное число, квадрат которого равен , или и

Пример. Решите уравнение.

По определению арифметического квадратного корня: число 2 есть неотрицательное число, квадрат которого равен , то есть  и , то есть .

Любое неравенство вида  равносильно системе  [1]

Пример. Решите неравенство .

Аналогичные рассуждения приводят к следующим действиям.

 Неравенство  (1) равносильно системе (2)

 Пусть сначала является решением неравенства (1), тогда справедливо числовое равенство . Докажем, что тогда  является решением системы (2).

( и ), т. е.  и .

Следовательно,  является решением системы .

 Пусть  является решением системы (2), тогда справедливы неравенства  и . Следовательно, . То есть  является решением неравенства .

Чтобы установить справедливость равносильности мы переходим к числовым неравенствам, рассматриваем на основе свойств числовых неравенств, устанавливаем справедливость равносильности, и потом только возвращаемся к исходным неравенству и системе и говорим об их равносильности. Но достаточно для этого рассмотреть свойства рассматриваемой функции.

Функция есть возрастающая функция с областью определения . Если , то .

 

Литература.

 

1.                  Назиев А.Х. Гуманитарно ориентированное преподавание математики в общеобразовательной школе. Рязань, 1999.

2.                  Рыжик В. Надо ли искать ОДЗ? // Квант. 1982 г., №4.

 

Поступила в редакцию 14 января 2008 г.

2006-2018 © Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов.
Все материалы, размещенные на данном сайте, охраняются авторским правом. При использовании материалов сайта активная ссылка на первоисточник обязательна.