Значимость определений и теорем при
решении математических задач.
Азизян
Инара Артушовна,
соискатель кафедры
математического анализа Рязанского Государственного Университета,
старший преподаватель
Рязанского Политехнического Института.
Типичной ошибкой при решении математических задач в школьном курсе является пренебрежительное отношение к математическим определениям. Подчас задачи, имеющие простые объяснения на основе определений, усложняются из-за ненужных действий. Иногда на практике решения задач основываются не на аксиомах, определениях, теоремах, а на разного рода побочных соображениях.
Например, рассмотрим уравнение «». Для решения данного уравнения возводят обе части в квадрат, накладывают дополнительное ограничивающее условие «».
Имеем равенство «». Равенство является объектом предметного языка. Что представляет собой это равенство? Чтобы понять это, достаточно обратиться к определению арифметического корня. Равенство «» говорит: есть арифметический квадратный корень из . В соответствии с определением арифметического квадратного корня это означает: есть неотрицательное число, квадрат которого равен А, или и [1].
То есть в силу определения арифметического квадратного корня
Пример. Решите уравнение .
Для начала обратимся к работе В. Рыжика [2]. В ней говорится, что любое уравнение вида равносильно системе
Далее, приводится вот такое доказательство.
Если является корнем уравнения , то справедливо числовое равенство , то и ; значит, является решением системы .
Если является решением системы то есть справедливо числовое равенство и , то ; поскольку , , значит, является корнем уравнения .
Между тем достаточно рассуждать, не выходя за пределы предметного языка, оперируя только определением арифметического корня.
В соответствии с определением арифметического квадратного корня это означает: есть неотрицательное число, квадрат которого равен , или и .
Если следовать схеме, предложенной выше, то придется проделать ненужные операции.
Пусть корень уравнения , то есть справедливо числовое равенство Значит и , то есть является решением системы .
Пусть является корнем системы , то есть справедливо числовое равенство и , то , так как , то , то есть , значит является корнем уравнения .
Между тем, по определению арифметического корня следует, что число есть неотрицательное число, квадрат которого равен , или и
Пример. Решите уравнение.
По определению арифметического квадратного корня:
число 2 есть неотрицательное число, квадрат которого равен , то есть и , то есть .
Любое неравенство вида равносильно системе [1]
Пример. Решите неравенство .
Аналогичные рассуждения приводят к следующим
действиям.
Неравенство
(1) равносильно
системе (2)
Пусть сначала является решением неравенства (1), тогда справедливо числовое
равенство . Докажем, что тогда является решением
системы (2).
( и ), т. е. и .
Следовательно, является решением
системы .
Пусть является решением
системы (2), тогда справедливы неравенства и . Следовательно, . То есть является решением
неравенства .
Чтобы установить справедливость равносильности мы
переходим к числовым неравенствам, рассматриваем на основе свойств числовых
неравенств, устанавливаем справедливость равносильности, и потом только
возвращаемся к исходным неравенству и системе и говорим об их равносильности. Но
достаточно для этого рассмотреть свойства рассматриваемой функции.
Функция есть возрастающая функция с областью определения . Если , то .
Литература.
1. Назиев А.Х. Гуманитарно ориентированное преподавание математики в общеобразовательной школе. Рязань, 1999.
2.
Рыжик В. Надо ли искать ОДЗ? // Квант.
Поступила в редакцию 14 января