Решение двумерного уравнения Шредингера
с полиномиальными потенциалами с дискретной симметрией методом
самосогласованного базиса
Чеканов
Николай Александрович,
доктор физико-математических наук,
профессор,
Лукьяненко
Алла Николаевна,
аспирант кафедры математического
анализа.
Белгородский государственный
университет.
Введение
Точные,
то есть решения в явном аналитическом виде для уравнения Шредингера даже в
одномерном случае найдены для небольшого класса потенциалов [2]. Поэтому разработаны
и развиваются различные приближенные аналитические, так и численные методы [3].
Вычислительные трудности сильно возрастают при увеличении размерности рассматриваемой
системы и усложнении вида потенциала дифференциального оператора Шредингера,
для которого решается задача на собственные значения. Кроме того, точность
вычислений спектра и волновых функций ухудшается, если квантовая система допускает
существование динамического хаоса при ее классическом рассмотрении [4]. Так как
вычисления всегда ограничены возможностями даже современных быстродействующих
компьютеров, а универсального метода не существует, то приходится искать наиболее
оптимальные вычислительные методы для решения конкретных задач. Перспективным
современным подходом представляются комбинированные или символьно-численные
методы, которые сочетают аналитические преобразования с последующим численным
решением исходной задачи с использованием современных компьютерных систем как
Maple, Reduce, Mathematica.
В
настоящей работе рассматривается метод самосогласованного
базиса [1] с использованием известной компьютерной системы Maple для
решения двумерного уравнения Шредингера
Уплотнитель кабельных проходов укпт уплотнитель кабельных проходов укпт termofit.ru
(1)
со
следующими тремя двумерными полиномиальными потенциалами:
, (2)
, (3)
, (4)
где и – спектр и волновые
функции, , , – параметры, причем обеспечивает
дискретность энергетических спектров.
Поверхности
потенциальной энергии (ППЭ) (2), (3) и (4) являются инвариантными относительно
дискретных групп (симметрия
прямоугольника), (симметрия равностороннего
треугольника) и (симметрия квадрата),
соответственно. Причем параметры выбраны так, что ППЭ (2) имеет два локальных
минимума и одно седло, ППЭ (3) – четыре локальных минимума и три седла, а ППЭ (4)
– один минимум. Следует отметить, что во всех трех системах в классическом
пределе существует классический хаос, кроме нескольких исключительных наборах
параметров, что подтверждено построенными сечениями Пуанкаре.
Основные
уравнения
Уравнение
Шредингера (1) записывается в полярных переменных для новой неизвестной
функции как
, (5)
и его
решение ищется в виде тригонометрического ряда
, (6)
где , , – функции от
переменной . Последовательно умножая выражение (5) слева на функцию из
полного набора , , , и интегрируя по периоду,
получим, в общем бесконечную, однородную систему обыкновенных дифференциальных
уравнений (ОДУ) II порядка. Эта система из-за наличия дискретной симметрии уравнения
Шредингера распадается: на четыре
независимых в соответствии с четырьмя неприводимыми представлениями , , , группы для ППЭ
(2), на три независимых в соответствии с тремя неприводимыми представлениями
, , группы для ППЭ
(3) и на пять независимых в соответствии с пятью неприводимыми
представлениями , , , , группы для ППЭ
(4).
Затем
каждая из полученных систем ОДУ II порядка эквивалентным
образом переписываются в виде систем ОДУ I порядка и усекается до системы
из уравнений. Для
полученной конечной системы ОДУ I порядка определенного типа из заданного диапазона
значений энергии численно
решается задача Коши с нормальными начальными условиями, и строится общее
решение, в котором содержится искомое частное решение уравнения (5), а, значит,
и уравнения Шредингера (1). Учитывая граничные условия для волновой функции в нуле и на
бесконечности, получаем уже алгебраическую однородную линейную систему
уравнений, нетривиальные решения которой дают нам спектр и соответствующие
волновые функции .
Результаты численных расчетов
В
настоящей работе разработаны символьно-численные программы в среде Maple, с
помощью которых для исходного уравнения Шредингера (1) с потенциалами (2)-(4) в
соответствии с методом самосогласованного базиса проведены описанные выше аналитические
преобразования, а также численные расчеты, некоторые из них представлены ниже.
Рис.1. Рельефы волновых функций для
состояния с энергией в потенциале (2) с параметрами
, , , (слева) и для
состояния с энергией в потенциале (4) с
параметрами (справа).
Таблица 1.
Энергетический
спектр гамильтониана (1)
с потенциалом (3) с параметрами
, .
|
|
Тип |
|
|
Тип |
1. |
1,020000 |
|
6. |
3,999999 |
|
2. |
1,949999 |
|
7. |
4,000000 |
|
3. |
2,950000 |
|
8. |
4,949999 |
|
4. |
2,999999 |
|
9. |
4,997500 |
|
5. |
3,950000 |
|
10. |
5,000000 |
|
Литература
1. Виницкий С.И., Инопин Е.В.,
Чеканов Н.А. Препринт ОИЯИ, Р4-93-150, Дубна, 1993, 11с.
2. Миллер У., мл.
Симметрия и разделение переменных. Пер. с анг. под
ред. К.И. Бабенко.- М.: Мир, 1981.-342 с.
3. Турбинер А.В.
Задачи о спектре в квантовой механике и процедура “нелинеаризации».
УФН, Том 144, вып. 1, 1984, С. 35-78.
4. Bolotin Yu.L., Gonchar
V.Yu., Tarasov V.N.,
Chekanov N.A. The transition regularity-chaos-regularity and statistical
properties of wave function. Phys. Lett., v.A144.n.8,9, 1990, pp.459-461.
Поступила в редакцию 08.07.2008
г.