ISSN 1991-3087

Свидетельство о регистрации СМИ: ПИ № ФС77-24978 от 05.07.2006 г.

ISSN 1991-3087

Подписной индекс №42457

Периодичность - 1 раз в месяц.

Вид обложки

Адрес редакции: 305008, г.Курск, Бурцевский проезд, д.7.

Тел.: 8-910-740-44-28

E-mail: jurnal@jurnal.org

Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100
Яндекс.Метрика

Решение двумерного уравнения Шредингера с полиномиальными потенциалами с дискретной симметрией методом самосогласованного базиса

 

Чеканов Николай Александрович,

доктор физико-математических наук, профессор,

Лукьяненко Алла Николаевна,

аспирант кафедры математического анализа.

Белгородский государственный университет.

 

Введение

 

Точные, то есть решения в явном аналитическом виде для уравнения Шредингера даже в одномерном случае найдены для небольшого класса потенциалов [2]. Поэтому разработаны и развиваются различные приближенные аналитические, так и численные методы [3]. Вычислительные трудности сильно возрастают при увеличении размерности рассматриваемой системы и усложнении вида потенциала дифференциального оператора Шредингера, для которого решается задача на собственные значения. Кроме того, точность вычислений спектра и волновых функций ухудшается, если квантовая система допускает существование динамического хаоса при ее классическом рассмотрении [4]. Так как вычисления всегда ограничены возможностями даже современных быстродействующих компьютеров, а универсального метода не существует, то приходится искать наиболее оптимальные вычислительные методы для решения конкретных задач. Перспективным современным подходом представляются комбинированные или символьно-численные методы, которые сочетают аналитические преобразования с последующим численным решением исходной задачи с использованием современных компьютерных систем как Maple, Reduce, Mathematica.

В настоящей работе рассматривается метод самосогласованного базиса [1] с использованием известной компьютерной системы Maple для решения двумерного уравнения Шредингера

Мясные консервы

Тушенка Войсковой Спецрезерв - консервы завода АРГО! ГОСТ! Доставка!

tyshenka-voiskovoy-specrezerv.ru

                                                     (1)

со следующими тремя двумерными полиномиальными потенциалами:

,                                                  (2)

,                                                      (3)

,                                                             (4)

где  и  – спектр и волновые функции, , ,  – параметры, причем  обеспечивает дискретность энергетических спектров.

Поверхности потенциальной энергии (ППЭ) (2), (3) и (4) являются инвариантными относительно дискретных групп  (симметрия прямоугольника),  (симметрия равностороннего треугольника) и  (симметрия квадрата), соответственно. Причем параметры выбраны так, что ППЭ (2) имеет два локальных минимума и одно седло, ППЭ (3) – четыре локальных минимума и три седла, а ППЭ (4) – один минимум. Следует отметить, что во всех трех системах в классическом пределе существует классический хаос, кроме нескольких исключительных наборах параметров, что подтверждено построенными сечениями Пуанкаре.

 

Основные уравнения

 

Уравнение Шредингера (1) записывается в полярных переменных  для новой неизвестной функции  как

,                             (5)

и его решение ищется в виде тригонометрического ряда

,                                                    (6)

где , ,   – функции от переменной . Последовательно умножая выражение (5) слева на функцию из полного набора , , ,   и интегрируя по периоду, получим, в общем бесконечную, однородную систему обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) II порядка. Эта система из-за наличия дискретной симметрии уравнения Шредингера распадается:  на четыре независимых в соответствии с четырьмя неприводимыми представлениями , , ,  группы  для ППЭ (2), на три независимых в соответствии с тремя неприводимыми представлениями , ,  группы  для ППЭ (3) и на пять независимых в соответствии с пятью неприводимыми представлениями , , , ,  группы  для ППЭ (4).

Затем каждая из полученных систем ОДУ II порядка эквивалентным образом переписываются в виде систем ОДУ I порядка и усекается до системы из  уравнений. Для полученной конечной системы ОДУ I порядка определенного типа из заданного диапазона значений энергии  численно решается задача Коши с нормальными начальными условиями, и строится общее решение, в котором содержится искомое частное решение уравнения (5), а, значит, и уравнения Шредингера (1). Учитывая граничные условия для волновой функции  в нуле и на бесконечности, получаем уже алгебраическую однородную линейную систему уравнений, нетривиальные решения которой дают нам спектр  и соответствующие волновые функции .

 

Результаты численных расчетов

 

В настоящей работе разработаны символьно-численные программы в среде Maple, с помощью которых для исходного уравнения Шредингера (1) с потенциалами (2)-(4) в соответствии с методом самосогласованного базиса проведены описанные выше аналитические преобразования, а также численные расчеты, некоторые из них представлены ниже.

 

Рис.1. Рельефы волновых функций для состояния  с энергией  в  потенциале (2) с параметрами , , ,  (слева) и для состояния  с энергией  в  потенциале (4) с параметрами   (справа).

 

Таблица 1.

Энергетический спектр гамильтониана (1)

с  потенциалом (3) с параметрами , .

Тип

Тип

1.

1,020000

6.

3,999999

2.

1,949999

7.

4,000000

3.

2,950000

8.

4,949999

4.

2,999999

9.

4,997500

5.

3,950000

10.

5,000000

 

Литература

 

1. Виницкий С.И., Инопин Е.В., Чеканов Н.А. Препринт ОИЯИ, Р4-93-150, Дубна, 1993, 11с.

2. Миллер У., мл. Симметрия и разделение переменных. Пер. с анг. под ред. К.И. Бабенко.- М.: Мир, 1981.-342 с.

3. Турбинер А.В. Задачи о спектре в квантовой механике и процедура “нелинеаризации». УФН, Том 144, вып. 1, 1984, С. 35-78.

4. Bolotin Yu.L., Gonchar V.Yu., Tarasov V.N., Chekanov N.A. The transition regularity-chaos-regularity and statistical properties of wave function. Phys. Lett., v.A144.n.8,9, 1990, pp.459-461.

 

Поступила в редакцию 08.07.2008 г.

2006-2018 © Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов.
Все материалы, размещенные на данном сайте, охраняются авторским правом. При использовании материалов сайта активная ссылка на первоисточник обязательна.