ISSN 1991-3087

Свидетельство о регистрации СМИ: ПИ № ФС77-24978 от 05.07.2006 г.

ISSN 1991-3087

Подписной индекс №42457

Периодичность - 1 раз в месяц.

Вид обложки

Адрес редакции: 305008, г.Курск, Бурцевский проезд, д.7.

Тел.: 8-910-740-44-28

E-mail: jurnal@jurnal.org

Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100
Яндекс.Метрика

Решение уравнения Шредингера для ангармонических осцилляторов

 

Чеканов Николай Александрович,

доктор физико-математических наук, профессор,

Флоринский Вячеслав Владимирович,

аспирант кафедры математического анализа.

Белгородский государственный университет.

 

Для многих потенциалов даже в одномерном случае уравнения Шредингера не допускает решения в явном виде. Например, ангармонический осциллятор с различной степенью нелинейности. Поэтому применяются различные приближенные методы и прямые численные расчеты. Ангармоническому осциллятору, особенно с четвертой степенью нелинейности посвящено большое число работ (см., например [1] и ссылки в ней). Это связано с тем, что, несмотря на кажущуюся простоту, эта модель, с одной стороны, имеет полезные приложения в атомной и молекулярной физике, в квантовой теории поля, в теории твердого тела, а, с другой стороны, не имеет общего решения в явном виде для собственных значений и функций, поэтому является испытательным тестом для проверки новых приближенных методов решения задачи на собственные значения [2]. Причина сложности нахождения спектра и волновых функций ангармонического осциллятора в том, что он имеет неизолированную особую точку по параметру нелинейности, если рассматривать его в комплексной плоскости [5].

В данной работе двумя способами решается одномерное уравнение Шредингера для ангармонического осциллятора с потенциалом четвертой, шестой и восьмой степенями нелинейности:

                                                                                                   (1)

                                                                                              (2)

где  – пространственная координата,  – степень нелинейности,  –параметр,  – волновая функция и  – спектр оператора (2).

Вначале задачу (1)-(2) приближенно решим с помощью метода классических и квантовых нормальных форм Депри-Хори [6]. Для этого рассмотрим классический аналог оператора гамильтониана (2), т.е. следующую функцию Гамильтона

                                                                                       (3)

и представим его в виде ряда:

где числовые коэффициенты  находятся из выражения (3).

Классическую функцию Гамильтона (3) приведем к нормальной форме, т.е. найдем такую функцию , что

                                                                                           (4)

где  – скобка Пуассона. В выражении (4) предполагается, что старые переменные и зависят от новых переменных  и .

Производящую функцию  канонического преобразования  и саму нормальную форму  будем искать в виде степенных рядов

                                          (5)

Неизвестные величины  и  в выражении (5), удовлетворяют равенству

                                                                       (6)

где  и  – компоненты классической гамильтоновой функции (3), а величины  определяются выражением

                                                                            (7)

где  – биномиальные коэффициенты,  – оператор Ли, который определяется через скобки Пуассона: .

Чтобы найти неизвестные компоненты  и , основное уравнение (6) дополним равенством (4), которое определяет нормальную форму. Полученный в результате полином  представим в виде суммы двух однородных полиномов , удовлетворяющих условиям , . Тогда из основного уравнения (6) с учетом условия (4) неизвестные компоненты производящей функции  и нормальной формы  можно определить следующим образом , .

Для решения поставленной задачи на собственные значения (1)-(2) удобно ввести новые комплексные канонически сопряжённые переменные

и перепишем классическую нормальную форму в виде .

В настоящей работе классические нормальные формы Депри-Хори функции (3) вычислены с помощью программы LINA [6] в среде REDUCE, которая позволяет получить классическую нормальную форму любом заданном порядке по степени , ограничиваясь возможностями компьютера.

Для нахождения квантовой нормальной формы [3] воспользуемся правилом Вейля

,

где , . Тогда собственные значения задачи

                                                                                                      (8)

приближенно равны собственным значениям исходной задачи (1)-(2). Ниже представлены полученные описанным выше методом формулы для энергетических спектров гамильтониана  (при  соответственно):

                                       (9)

 

                                                                                (10)

 

                                                                                                                  (11)

 

Для решения задачи (1)-(2) составлена программа QuantaWeyl в среде Maple, с помощью которой получены формулы (9)-(11).

Теперь решим уравнение Шредингера (1)-(2) с помощью степенных рядов. Задача (1)–(2) эквивалентна краевой задаче

                                                        (12)

где  – потенциальная функция.

Будем искать фундаментальную систему решений задачи (12) в виде рядов

                                                           (13)

где неизвестные коэффициенты  и  зависят от энергии  и находятся подстановкой рядов (13) в уравнение (12). Первые члены разложения линейно независимых решений уравнения (12)  и  имеют вид:

:

.

Чтобы общее решение задачи (12) в виде  удовлетворяло краевым условиям, необходимо выбрать произвольные постоянные  и  так, чтобы система

                                                                    (14)

имела нетривиальные решения.

На практике подбором значений параметра  добиваемся совпадения собственных значений в первых семи десятичных знаков, в частности, для нижних уровней энергии в наших расчетах . Приравнивая к нулю определитель системы (14), получим уравнение относительно , корни которого являются спектром задачи (1) – (2). Для каждого вычисленного корня  система (14) имеет единственное решение  и , поэтому волновая функция -го энергетического уровня имеет вид .

В следующих таблицах приведены сравнения значений энергетического спектра оператора Шредингера, вычисленных в данной работе, с результатами работы [4], в которой приведены наиболее достоверные значения спектров ангармонических осцилляторов.

 

Таблица 1

Сравнение собственных значений оператора (2),

полученных различными методами, при , .

0

1,000748

1,000748

1,000748

1

3,00373

3,00374

3,00373

0

2

5,0097

5,0098

5,0097

3

7,0186

7,019

7,0186

0,017

4

9,0305

9,045

9,0305

0,165

 

Таблица 2

Сравнение собственных значений оператора (2),

полученных различными методами, при , .

0

1,00018

1,00018

1,00018

0

0

1

3,0013

3,0013

3,0013

0

0

2

5,0046

5,0047

5,0046

0

3

7,011

7,012

7,011

0

0,014

4

9,023

9,033

9,023

0

0,1

 

Таблица 3

Сравнение собственных значений оператора (2),

полученных различными методами, при , .

0

1,00006

1,00006

1,00006

0

0

1

3,00058

3,00059

3,00058

0

2

5,0026

5,0027

5,0026

0

3

7,0083

7,0095

7,0083

0

0,016

4

9,02

9,03

9,02

0

0,12

 

В таблицах 1-3 через  обозначен номер уровня;  – значения энергии, полученные по формулам (9)-(11);  – значения энергии, полученные при помощи степенных рядов;  – значения энергии, приведенные в работе [4];  и  – относительные отклонения рассчитанных в настоящей работе уровней энергии от их значений работы [4]. Как видно из таблиц 1-3, имеется хорошее согласие результатов при данных значениях параметров.

В заключение отметим, что рассмотренный метод нормальных форм представляет некоторый вариант обычной теории возмущений и дает неплохие результаты при достаточно малых значений параметра  в отличие от метода решения уравнения Шредингера с помощью степенных рядов, который пригоден при произвольных значениях этого параметра.

 

Литература

 

1. Турбинер А.В. Задачи о спектре в квантовой механике и процедура “нелинеаризации». УФН, Том 144, вып. 1, 1984. -c.35-78.

2. Флоринский В.В., Чеканов Н.А. Квантование нелинейных одномерных осцилляторов по правилу Вейля. XLIVВсероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии: Тезисы докладов. Секция физики. - М.: РУДН, 2008. -с.46-47.

3. Чеканов Н.А. Квантование нормальной формы Биркгофа-Густавсона. ЯФ, т.50.вып.8., 1989-с.344-346.

4. K. Banerjee, S.P.Bhatnagar, V. Choudhry and S.S. Kanwal. General anharmonic oscillators. Proc. R. Soc. Lond., A360, 1978. –pp.575-586.

5. Bender C.M. and Wu T.T. Anharmonic oscillator. Phys. Rev., v.184.No.5, 1969. – pp.1231-1260.

6. Ukolov Yu.A., Chekanov N.A., Gusev A.A., Rostovtsev V.A., Vinitsky S.I., Uwano Y. Comp. Phis. Commun. Vol.166. No1. 2005. -pp.66 – 80.

 

Поступила в редакцию 15.07.2008 г.

2006-2018 © Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов.
Все материалы, размещенные на данном сайте, охраняются авторским правом. При использовании материалов сайта активная ссылка на первоисточник обязательна.