ISSN 1991-3087

Свидетельство о регистрации СМИ: ПИ № ФС77-24978 от 05.07.2006 г.

ISSN 1991-3087

Подписной индекс №42457

Периодичность - 1 раз в месяц.

Вид обложки

Адрес редакции: 305008, г.Курск, Бурцевский проезд, д.7.

Тел.: 8-910-740-44-28

E-mail: jurnal@jurnal.org

Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100
Яндекс.Метрика

Алгоритмы выявления почти – периодов в результатах измерений.

 

Гадзаов Алексей Федорович,

аспирант кафедры «Прикладная математика» Московского Института Радиотехники, Электроники и Автоматики (Технического Университета),

аналитик ЗАО «ПРОКОНСИМ».

 

Эффективные методы выявления колебаний разработаны на основе решения задачи о разделении движении.

В связи с этим, возникает задача выделения колебаний по результатам измерений при неизвестном тренде.

Пусть, имеется исходный ряд эмпирических данных yt. Будем считать, что характеристики тренда этого ряда кодируются через опорные точки. Задача состоит в том, чтобы найти такое положение этих точек, которое обеспечит исключение тренда. Рассмотрим в качестве простейшего случая ситуацию, в которой для решения этой задачи используются 3 точки  yt , yt , yt+τ, то есть они находятся на равных расстояниях по аргументу от средней точки.

В этой постановке задача сводится к классическим результатам теории пропорции [1], в соответствии с которыми, осуществляется разбиение отрезка (рис. 1).

 

Рис.1.

Разбиение отрезка.

 

Рассмотрим две основных пропорции, арифметическую и геометрическую.

Для арифметической пропорции:

   или    .

Тогда состояние системы характеризуется безразмерным критерием:

, после логарифмирования получим     

Для геометрической пропорции:

   или    .

Тогда состояние системы характеризуется безразмерным критерием:

, после логарифмирования получим   

Характеристики эмпирического ряда, представленные этими безразмерными критериями, могут быть использованы в качестве индикаторов характеристик систем для исключения тренда, параметры которого учитываются величиной  сдвига по аргументу , относительно состояния . Проблемой при этом является определение такого значения , которое обеспечивает исключение тренда.

Преобразование эмпирических данных в координатах

  (1)      и            (2)

приводит к исключению из исходной зависимости трендовых участков.

Будем подбирать такие значения , которые обеспечивают минимальную амплитуду колебаний для зависимостей (1) и (2).

Для определения почти – периодов построим сдвиговую функцию (функцию Джонсона)[2] для зависимостей, полученных при подстановке в (1) и (2) найденного значения .

Для выявления периодов, свободных от априорных предположений, остается фундаментальное свойство периода функции.

 Пусть имеется строго периодическая функция   с периодом . Тогда

    (3)

Если функция не строго периодическая, то разность  для разных    будет принимать различные значения. Введем среднее значение абсолютной разности для каждого возможного периода  . Для дискретного случая, если  n  общее число отсчетов функции  , заданной экспериментальными значениями, то средняя абсолютная разность для некоторого пробного периода    будет равна

     (4)

Эта функция называется сдвиговой или функцией Джонсона.     

Так как мы хотим найти такие  , которые могут претендовать на период с некоторой точностью, то естественно обратить внимание на положение минимумов функции   .

Главный период    функции   может быть определен как

,

где    и  - естественные пределы поиска периода, выбираемые таким образом, что с одной стороны отбрасываются малые ,  при которых функция  может принимать малые значения из-за инерционности функции   и, с другой стороны, отбрасываются большие  , при которых определение средней   становится ненадежным из-за малости числа  - предела суммирования в выражении (4).

Фактически в этом случае выявляются почти - периоды, представленные в экспериментальных данных, вне зависимости от формы колебаний.

Действительно, сдвиговая функция не предъявляет никаких предварительных требований к структуре сигналов, формирующих характеристики системы, однако М. Джонсон обращал внимание на то, что его метод выявляет цикличность в погоде, солнечной активности, вариациях магнитного поля и положениях планет [2]. Все эти системы характеризуются колебаниями относительно некоторого постоянного на длинных интервалах времени уровня.

Системы почти – периодов для критериев, соответствующих арифметическому и геометрическому среднему  сравниваются между собой. Результатом является набор совпадающих по разным типам средних почти – периодов.

Тогда алгоритм расчета почти – периодов является следующим:

1)                 Исходный эмпирический ряд обрабатывается в координатах (1) и (2).

2)                 Выбираются те значения , которые являются минимумами в зависимости среднего значения амплитуда колебаний от величины сдвига по аргументу.

3)                 Строится функция Джонсона для рядов (1) и (2) при выбранных  .

4)                 Полученные результаты сравниваются и выбирается почти - период, совпадающий для среднего геометрического и среднего арифметического критериев.

В качестве примера выявления почти - периодов рассмотрим динамику мировой  добычи нефти (рис.2)[3].

 

Рис.2.

Динамика мировой добычи нефти, по оси ординат  тыс. баррелей.

 

Варьирование величины τ для данных, представленных в виде (1) и (2), показало, что среди эффективных значений есть 10 лет. Полученные после преобразования (1) и (2) результаты на рис.3. Функции Джонсона определяет величины почти – периодов, рис. 4.

 

Рис. 3.

Данные рис.1 после исключения тренда зависимостями (1) и (2) при τ = 10 лет..

 

Рис. 4.

Функции Джонсона для рис.3.

 

Представленные на рис.4 результаты показывают наличие в динамике мировой добычи нефти почти – периода продолжительностью 47-48 лет, который воспроизводится для среднего арифметического и среднего геометрического показателей.

 Рассмотренный алгоритм, позволяет выделять почти – периоды в экспериментальных данных, с колебаниями относительно тренда.

 

Литература.

 

1.    Н. Джини. Средние величины. М.:Статистика, 1970

2.    Johnson M. Correlations of cycles in weather, solar activity, geomagnetic values and planetary configurations. - San Fransisco, Phillips and Van Orden, 1944

3.      http://www.eia.doe.gov

 

Поступила в редакцию 21.02.2008 г.

2006-2018 © Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов.
Все материалы, размещенные на данном сайте, охраняются авторским правом. При использовании материалов сайта активная ссылка на первоисточник обязательна.