Восстановление и точность представления температурного поля при обжиге подины электролизера, проблемы рассматриваемого метода.

 

Гуляев Андрей Вадимович,

аспирант кафедры вычислительных и информационных технологий Сибирского Федерального Университета.

 

Введение.

 

Технология обжига алюминиевых электролизеров связана с применением внешнего источника тепла, так как данный способ позволяет эффективно влиять на температуру подины при обжиге и целенаправленно формировать ее температурное поле. Технология обжига включает нагрев углеродистой футеровки до температуры, близкой к эксплуатационной. Но, как правило, реальная температура нагрева подины при обжиге далека от требуемой, а ее распределение по подине крайне неравномерно [1].

Математическое моделирование тепловых процессов, происходящих в промышленных печах, т.е. исследование этих процессов, основанное на их математическом описании, давно и в широких масштабах используется в металлургической теплотехнике.

С помощью математических моделей можно еще на стадии проектирования найти оптимальное конструктивное оформление и выбрать оптимальные режимные параметры работы [2].

В данной работе описаны методы построения специальных аппроксимаций температурного поля при обжиге подины электролизера, а также рассмотрены вопросы точности его представления и проблемы рассматриваемого метода.

 

Постановка задачи.

 

Обжиг углеграфитовой подины электролизера осуществляется путем нагрева поверхности подины топочными газами при сжигании дизельного топлива.

Рассмотрим методы построения специальных аппроксимаций температурного поля.

Применительно к обжигу подин алюминиевых электролизеров в качестве математической модели выбрано уравнение теплопроводности, дополненное начальными и соответствующими граничными условиями:

L=                          (1)

 где

  – расчетная область алюминиевого электролизера, c - удельная теплоемкость, ρ - плотность, k - теплопроводность материалов, u - температура,  f - внутренние источники тепла, t - время, (x,y,z) - пространственные координаты; c, ρ, k - кусочно-постоянные функции.

Нам известны приближенные значения  температурного поля на сетке

 
в некоторые фиксированные моменты времени

Также нам известна погрешность измерения температурного поля u в узлах сетки

.

Наша задача - построить функцию s, удовлетворяющую следующим условиям:

                           (2)

то есть наша задача состоит в восстановлении температурного поля при обжиге подины электролизера.

Кроме того, мы будем стремиться к тому, чтобы невязка была как можно меньше в норме:

|| Ls-f||

 Таким образом, стандартная задача интерполяции дополнена условиями аппроксимации моделируемой задачи, что позволит значительно повысить точность приближения температурного поля.

 

Восстановление температурного поля при обжиге подины электролизера.

 

Решение поставленной задачи чисто в аналитическом виде проблематично, поскольку в этом случае необходимо знать функцию распределения температур по обжигаемой стороне подины (функцию внешнего источника тепла), которая нам неизвестна. В таком случае задача сводится к двумерной, но стоит та же проблема восстановления температурного поля при обжиге подины электролизера по данным термопар. Возможно переформулировать задачу так, что будет необходима функция внутреннего источника тепла, которая также неизвестна. Таким образом, необходимо воспользоваться методами численной математики.

При решении поставленной задачи будем пользоваться данными, полученными на предприятии КрАЗ при обжиге подины электролизера в одном из режимов, применяемых на данном заводе. Они включают в себя температуру топочных газов, а также показания термопар, расположенных на поверхности и в нижней части подины по периферии на расстоянии 2 м друг от друга. Измерение температур топочных газов и подины проводилось в течении 45 часов через интервалы времени от 1 до 6 часов. Подина электролизера представляет собой параллелепипед длиной 10 м, шириной 2 м и высотой 40 см. Число термопар равно 24.

Математическая модель описывает поведение температурного поля T=T(t,x), K в процессе нагрева стержня. Здесь t - время, x - геометрическая характеристика.

Подина ванны электролизера представляет собой твердое относительно однородное тело.  Материал подины имеет следующие характеристики:

плотность r=r(T), кг/м,

теплоемкость c=c(T),кДж/(кгК),

удельная теплопроводность l=l(T), Вт/(мК),

В общем случае они зависят от температуры материала подины.

Обжиг углеграфитовой подины электролизера осуществляется путем нагрева поверхности подины топочными газами при сжигании дизельного топлива.

Наша задача состоит в восстановлении температурного поля при обжиге подины электролизера.

Предполагается, что в начальный момент времени температура подины однородна. Таким образом, начальное распределение температур в подине задается константой:

,

где  - температура подины перед началом обжига.

Пусть  — разбиение области , составленное из элементов T и  Пересечение элементов  h — параметр τ. В нашем случае τ — параллелепипеды.
            Функцию s будем искать как обобщенный полином

,

 где  — число базисных функций, так что

L,                                (3)

 
где  — число внешних точек,  — число внутренних точек,  — линейно независимые функции.

Возьмем в качестве базисных функции следующего вида:

где

Для решения поставленной задачи многочлены третьей степени достаточны, поскольку с их помощью можно аппроксимировать возможные изменения в поведении температурного поля с учётом их вида.

 Пусть  - узлы вспомогательных сеток, расположенных в непосредственной близости от точки .

Здесь     

Подставим в (3) вместо s

 L,

то есть

L,

и продифференцируем по , то есть получим матрицу, где ij-ый элемент равен

,
то есть

.

 
            Таким образом, задача сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений

,                                   (4)

 где — матрица,  — вектор, ,  — вектор, ,

,

 

.

          Система (4) линейных алгебраических уравнений решается методом Гаусса с выбором главного элемента.

 

Точность представления температурного поля.

 

 Рассмотрим элемент формы прямоугольного параллелепипела, узлы измерения температуры расположены в его вершинах. В этих точках располагаются термопары. Для вычисления значений невязки, построим вспомогательную сетку. Число узлов вспомогательной сетки при этом может быть достаточно большим, поскольку физических измерений в них не производится. Будем считать, что физические размеры элемента составляют измерения , по времени следуют через моменты τ. Рассмотрим вопрос о точности приближения температурного поля. В нашем случае она будет складываться из точности измерения температуры в узлах и аппроксимационных свойств обобщенных полиномов.
Пусть u — приближаемая функция, — полином, квадратичный по пространственным переменным и линейный по времени.

Тогда

|u-s|.

Таким образом, на каждом элементе

|u-s|,

где  — некоторые константы, не зависящие от h,τ.

Следовательно, точность представления температурного поля зависит от размеров элементов, шагов по времени и степени полиномов.

 

Полученные погрешности.

 

 После реализации метода наименьших квадратов и получения коэффициентов  мы решили исходную задачу и нашли функцию s.

Сравнив значения функции s в узлах внешней сетки со значениями, полученными с помощью термопар, мы убедились, что разности этих значений не превышают значений погрешностей измерений.

 

Точность модели.

 

Для того чтобы оценить точность модели, проверим способность функции s аппроксимировать некоторую функцию.

Очевидно, что многочлены до третьей степени аппроксимируются точно в силу вида функции s, что было проверено экспериментальным путем. В случае аппроксимации многочленов более высоких степеней возникают неизбежные погрешности, которых можно избежать увеличением степени функции s.

Для тригонометрических функций удается избежать больших погрешностей в случае, когда размеры одного изгиба сопоставимы с размерами кубика.

 

Проблемы рассматриваемого метода.

 

При восстановлении температурного поля, мы находили аппроксимирующий полином отдельно для каждого кубика подины для каждого промежутка времени. Такой подход приводит к возможным нестыковкам температур, несогласованности их поведения на соприкасающихся границах кубиков и внутри одного кубика на переходах с одного временного промежутка на другой.

Этого можно избежать, если, найти один полином для всех кубиков и промежутков времени, но тогда неизбежно возрастают погрешности, что недопустимо.

В этом случае необходимо совместно решить системы уравнений для всех кубиков и промежутков времени с учетом граничных условий.

Этот вопрос будет рассмотрен в дальнейшем.

 

Литература.

 

1. Ветюков, М. М. Электрометаллургия алюминия и магния /М. М. Ветюков, А. М. Цыплаков, С. Н. Школьников. - М.: Металлургия, 1987. - 320 с.

2. Пехович, А. М. Расчеты теплового режима твердых тел /А. М. Пехович, В. М. Жидких. - Л.: Энергия, 1976.

 

Поступила в редакцию 05.03.2008 г.