ISSN 1991-3087

Свидетельство о регистрации СМИ: ПИ № ФС77-24978 от 05.07.2006 г.

ISSN 1991-3087

Подписной индекс №42457

Периодичность - 1 раз в месяц.

Вид обложки

Адрес редакции: 305008, г.Курск, Бурцевский проезд, д.7.

Тел.: 8-910-740-44-28

E-mail: jurnal@jurnal.org

Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100
Яндекс.Метрика

Применение метода анализа размерности для определения собственных частот несущей конструкции вибрационной машины с помощью механически подобной модели.

 

 Пивень Валерий Васильевич,

доктор технических наук, профессор,

Уманская Ольга Леонидовна,

доцент Курганского Государственного Университета.

 

Метод моделирования широко используется при исследовании динамических свойств  элементов конструкций в различных областях современной техники.

В задачи динамики входит определение собственных частот и форм колебаний, при натурных испытаниях это возможно лишь на заключительном этапе разработки объекта, когда внесение изменений в конструкцию затруднительно.

Применение методов физического моделирования позволяет оценивать динамические свойства конструкции экспериментальным путем на механически подобной модели, а затем учитывать эти результаты  в процессе проектирования [2].

Рассмотрим уменьшенную, механически подобную модель вибрационной сепарирующей машины (с габаритными размерами, приведенными на рис. 1) и возможность перехода от параметров модели к соответствующим параметрам конструкции натурального образца.

Для определения динамических параметров модели, в данном случае собственных колебаний несущей рамной конструкции применим метод анализа размерностей [1]. Данный метод устанавливает связь между физическими величинами, основанную на рассмотрении их размерностей.  Однозначное состояние системы определяется минимально возможным количеством размерных и безразмерных переменных и постоянных величин или определяющими параметрами. Основные параметры физического явления включают в себя как определяющие параметры, так и искомые величины.

 

Рис. 1.

Геометрические параметры модели.

 

Для записи матрицы размерности (см. табл. 1) расположим основные параметры в следующей последовательности:

1)       искомая функция – собственные частоты колебаний w;

2) регулируемые определяющие параметры: длина рамы L, высота рамы h, ширина рамы b, площадь поперечного сечения элементов рамной конструкции F, изгибная жесткость элементов рамной конструкции EJ, плотность материала r, начальное отклонение концевого сечения в направлении оси У на величину d, текущие значения прогибов ∆ в момент времени t.

 

Таблица 1.

Матрица размерностей.

 

w

L

EJ

F

d

r

t

h

b

Lx

0

0

3

1

0

-1

0

0

0

1

Ly

0

1

0

1

1

-1

0

0

1

0

Lz

0

0

-1

0

0

-2

0

1

1

0

G

0

0

1

0

0

1

0

0

0

0

T

-1

0

0

0

0

2

1

0

0

0

 

Где G - размерность силы; Т- размерность времени.

При приведении данной матрицы к каноническому виду по известной методике [1], имеем матрицу представленную в таблице 2.

 

Таблица 2.

Матрица размерностей после приведения к каноническому виду.

 

b

L

h

EJ

t

w

F

d

r

Lx

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Ly

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

Lz

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

G

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

T

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

 

На основании представленных данных имеем ранг матрицы размерностей v = 5. При числе основных параметров n=10 получаем число безразмерных комплексов k = nv= 10 – 5 = 5.

Общее выражение для безразмерного отношения представим в виде степенного одночлена:

 

    П = wX1 × LX2 × (E J)X3 × FX4 × d X5 × rX6 × t X7 × h X8 ×X9 × b X10 ×                        (1)             

 

Пользуясь матрицей размерностей (табл. 1) определим размерность произведения:

 

DimП = (T-1) X1 × (Ly) X2 × (Lx3 × Lz-1 × G)X3 × (Lx × L y)X4 × (L y)X5 × (Lx –1 × L y -1 × Lz-2 × G × T2 )X6 × (T)X7× (Lz )X8 × (Lz )X9 × (Lx) X10.                                                            (2)

 

C учетом свойств показательной функции:

 

DimП = Lх (3X3 + Х4 – Х6 + Х10) × Ly  2 + X4 + Х5 – Х6) × Lz(- Х3 - 2Х6 + Х8 + Х9) × G36) × Т7 + 2Х6 – Х1).                                                                                                                   (3)

 

По условию безразмерности данного произведения показатели степени должны быть равны 0.

 


3 + х4 – х6 + х10 = 0

х2 + х4 + х5 – х6 = 0

– х3 – 2х6 + х8 + х9 = 0                                      (4)

х3 + х6 = 0

–х1 +2х6 + х7= 0

 

Система имеет 5 уравнений с 10 неизвестными. Считая значения х1, х2,  х3, х8, х10 произвольными и выражая через них показатели степени х4, х5,  х6, х7, х9 найдем

 

х4 = – х10 – 4х3

х5 = х10 + 3х3 – х2

х7 = х1 + 2х3                                                      (5)

х9 =  – х3 – х8

х6 = х3

 

Для величин х1, х2,  х3, х8, х10 могут быть назначены любые значения.

Для первого решения независимых безразмерных комбинаций П1 выбираем х1= 1, х2 = х3 = х8 =  х10 = 0. Тогда согласно системе (5) х4 = 0, х5= 0, х7 = 1, х9 = 0, х6 = 0. Подставляя найденные значения  в выражение (1) получаем П1= wt.

Для значения второго безразмерного комплекса П2 принимаем х2 = 1, х1= х3 = х8 =  х10 = 0. Из системы (5) имеем х4 = 0, х5 = –1, х7 = 0, х9 = 0, х6 = 0. Тогда П2 = L /d.

Для третьего безразмерного комплекса П3: х3 = 1, х1= х2 = х8 = х10 = 0, х4 = – 4, х5 = 3, х7 = 2, х9 = – 1, х6 = – 1.  П3 = (ЕJ · d3 · t2) / (F · r · ∆).

Для четвертого безразмерного комплекса П4: х8 = 1, х1 = х2 = х3 =  х10 = 0, х4 = 0, х5 = 0, х7 = 0, х9 = – 1, х6 = 0.  П4 = h / ∆.

Для пятого безразмерного комплекса П5: х10 = 1, х1 = х2 = х3 = х8 = 0, х4 = – 1, х5 = 1, х7 = 0, х9 = 0, х6 = 0.  П5= b / F.

Результаты вычислений представим в виде матрицы решений (см. табл. 3).

 

Таблица 3.

Матрица решений.

 

w

L

EJ

F

d

r

t

h

b

П1

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

П2

0

1

0

0

-1

0

0

0

0

0

П3

0

0

1

-4

3

-1

2

0

-1

0

П4

0

0

0

0

0

0

0

1

-1

0

П5

0

0

0

-1

0

0

0

0

0

1

 

В результате тождественных преобразований безразмерных комплексов получим следующие критерии подобия:

П1*= П23 · П3= (ЕJ· L3· t2) / (F4 · r· ∆);  П2* = П1*· П4-1 = (ЕJ· L3· t2)/(F4 · r· h)

П3** = П2*-1 · П12 · П54 = (h ·  b 4 · r · w2) / (ЕJ · L3) = idem.

Соответствие между натуральным образцом и моделью будет определяться уравнением

 

       (h1 ·  b1 4 · r · w12) / (ЕJ1 · L13) = (h2 ·  b2 4 · r · w22) / (ЕJ2 · L2 3).                (6)

 

Пересчет собственных частот модели  на натуральный образец  производится по формуле

 

         w2 = w1 · (b1/ b2)2 · ((J2 · L2 3 · h1) / (J1 · L1 3 · h2))1/2.                                 (7)  

 

Таким образом,  выражение (7) позволяет определить собственные частоты натурального образца разрабатываемой конструкции через предварительно  полученные экспериментальным путем частоты модели с учетом габаритных размеров и жесткостей элементов несущей конструкции.                   

 

Литература.

 

1.             Шаповалов Л.А. Моделирование в задачах механики элементов конструкций. – М.: Машиностроение, 1990. – 288 с.

2.            Дидух  Б.И. Практическое применение методов теории размерностей и подобия в инженерно-строительных  расчетах / Б.И. Дидух,  И.Б.Каспэ  - М.: Стройиздат, 1975. – 49 с.

 

Поступила в редакцию 6 февраля 2008 г.

2006-2018 © Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов.
Все материалы, размещенные на данном сайте, охраняются авторским правом. При использовании материалов сайта активная ссылка на первоисточник обязательна.