ISSN 1991-3087
Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100
Яндекс.Метрика

НА ГЛАВНУЮ

Импликация с ложной посылкой.

 

Назиев Асланбек Хамидович,

доктор педагогических наук, профессор, заведующий кафедрой математического анализа,

Алёшина Наталья Петровна,

аспирант,

Рязанский Государственный Университет им. С. А. Есенина.

 

Признание истинной импликации с ложной посылкой до сих пор многим кажется неверным, неестественным, ненужным или даже нелепым. Все эти слова с приставкой «не» звучат в адрес импликации начиная с III века до н. э., когда Филон Мегарский сформулировал соглашение об истинностном значении последней, а именно: Условное предложение считается неверным, когда посылка его верна, а заключение – неверно, и считается верным во всех остальных случаях. Видимо споры по этому вопросу и тогда были очень оживленными, что отражено в эпиграмме датированной II веком до н. э. − «Уже вороны на крыше каркают, какая же импликация правильная» [2]. Подобные споры продолжаются и по настоящее время, приобретая порой комическую форму.

Например, один философ испытал сильнейшее потрясение, узнав от Бертрана Рассела, что из ложного утверждения следует любое утверждение. Он спросил: «Вы всерьез считаете, что из утверждения «два плюс два – пять» следует, что вы Папа Римский?» Рассел ответил утвердительно. «И вы можете доказать это?» − продолжал сомневаться философ. «Конечно!» − последовал уверенный ответ, и Рассел тотчас же предложил такое доказательство:

1)      Предположим, что 2+2=5.

2)      Вычтем из обеих частей по 2, получим 2=3.

3)      Переставим правую и левую части, получим 3=2.

4)      Вычтем из обеих частей по 1, получим 2=1.

Папа Римский и я – нас двое. Так как 2=1, то Папа Римский и я – одно лицо. Следовательно, я – Папа Римский [3].

Посмотрим на приведенное доказательство. Доказано ли, что 2+2=5? Нет. Может быть, доказано, что Бертран Рассел – Папа Римский? Тоже нет. А что же доказано? В точности то, что утверждалось: «Если 2+2=5, то Бертран Рассел – Папа Римский». И ничего больше.

Подобные доказательства многим кажутся «не настоящими», хотя устроены они так же, как и те доказательства, которые не вызывают возражений. Причин, вызывающих сомнения, несколько. Одна из них заключается в том, что ложность посылок в доказываемых импликациях очевидна. То же самое происходит, когда очевидна истинность посылки, истинность или ложность заключения. Например, скажи мы

если , то

– и нам тотчас же возразят: «Как это «если »? Разве Вы не знаете, что  действительно меньше ?» Или заяви мы:

если , то

– и нам тут же скажут: «При чем здесь «если »?  и без того».

А все дело в том, что импликацию обычно формулируют лишь в тех случаях, когда заранее не известно, истинны или ложны составляющие ее предложения. Как правило, это бывают предложения с переменными, выполняющиеся при одних значениях переменных и не выполняющиеся при других. Поэтому-то нам и нужно решить, как расценивать импликацию во всех возможных случаях, а не только в тех, когда посылка и заключение истинны. И принятое нами соглашение прекрасно согласуется обычной математической практикой. Например:

Пример 1. Докажите, что для любых действительных чисел  и , если , то .

Доказательство. Пусть . В силу аксиомы, каковы бы ни были действительные числа ,  и , если , то . По условию . Значит, , что и требовалось. Следовательно, импликация истинна для любых действительных чисел  и  таких, что . Пусть теперь , то есть посылка импликации ложна. Но и в этом случае импликация истинна в силу принятого нами соглашения. Таким образом, импликация «если , то » истинна для любых действительных чисел  и .

Кроме того, в повседневной жизни мы именно так применяем и понимаем импликации. Например, знакомый обещает следующее: «Если у меня будет свободное время, то я куплю тебе билеты на концерт». В каком случае знакомый Вас обманет? Ответ ясен: если у него будет свободное время, а билеты на концерт он не купит. Во всех остальных случаях он поступит в точности так, как и обещал:

1) У него будет свободное время, и он купит билеты на концерт (посылка и заключение импликации истинны).

2) Он будет занят, и у него не будет возможности купить билеты (посылка и заключение импликации ложны).

3) У него не будет свободного времени, но он все равно найдет возможность купить билеты (посылка импликации ложна, а заключение истинно). Что же, и в этом случае знакомый Вас не обманул. Он говорил только о том, что он сделает, если у него будет свободное время, о том же, что он сделает, если его не будет, он ничего не говорил –  может быть, он попросит съездить в кассу кого-нибудь еще.

Другая причина сомнений в необходимости признания истинной импликации с ложной посылкой заключается в том, что импликацию нередко смешивают с конъюнкцией. Спросим в любой ученической или даже учительской аудитории: «Существуют ли действительные числа  и  такие, что, если , то ?» Аудитория уверенно ответит: «Нет, потому, что не может быть одновременно  и », – наглядно демонстрируя, тем самым, что путает импликацию с конъюнкцией. Эта путаница, кстати, – довольно распространённое явление. Мы часто читаем в прессе и слышим по радио и телевидению примерно следующее: «Если немцы предпочитают пиво, то русские – водку»; «Если африканцу при  градусах тепла холодно, то эскимосу – жарко», и т. п. Во всех этих предложениях вместо «если__, то__» должно стоять «а» (в смысле «и»).

Ещё одна причина заключается в том, что импликацию сплошь и рядом путают с обратной импликацией. Обратимся к той же аудитории с вопросом: «Верно ли, что, если , то ?». В ответ услышим дружное: «Неверно, потому, что если , то ». – Ответ, свидетельствующий о том, что импликацию, о которой мы спрашивали, спутали с обратной к ней импликацией.

Последняя из причин, которую мы назовем, заключается в том, что соглашение об истинности импликации с ложной посылкой, как правило, лишь сообщается, задачи же на доказательство импликаций с ложной посылкой не решаются. А зря, ибо эти задачи не только убеждают в целесообразности и естественности указанного соглашения, но и являются (как показывают приведённые нами наблюдения) эффективным средством борьбы с указанными выше недостатками в употреблении импликации. Рассмотрим несколько таких примеров.

Пример 2. Докажите, что, для любого действительного числа ,

если , то .

Доказательство. Пусть . Тогда , так что . С другой стороны, как мы знаем, . Значит,  и, тем самым, . Теперь,  и , значит, . Наконец, из того, что  и  получаем, что . Это и требовалось.

Пример 2′. Верно ли, что, для любого действительного числа ,

если , то ?

Ответ. Неверно, потому что если , то .

Пример 3. Докажите, что существуют действительные числа  и  такие, что

если , то .

Доказательство. Для любых действительных чисел  и , если , то . В частности, при  получаем: если , то  (заменяя во втором неравенстве ()  на ,  на ).

Пример 3′. Существуют ли действительные числа  и  такие, что

 и ?

Ответ. Нет, так как, в соответствии с аксиомой порядка, отношение меньшинства линейно, то есть каковы бы ни были действительные числа  и ,  или , или .

Пример 4. Докажите, что для любого действительного числа ,

если , то  .

Доказательство. Пусть . Тогда , так что , что и требовалось доказать.

Какая польза от этого примера? Очевидная: поскольку заключение доказанной импликации ни при каких  не выполняется, и посылка ни при каких  не выполняется. Тем самым доказано, что равенство  на множестве действительных чисел невозможно. А ведь такие ситуации в математической практике встречаются сплошь и рядом. Мы делаем выводы из гипотез, не зная, верны они или нет, и, приходя к неверным заключениям, получаем, что и гипотезы неверны. А это означает, что фактически мы доказывали импликации с ложными посылками. Как видим, доказательство импликаций с ложными посылками является неотъемлемой составной частью научного поиска, и относиться к этой работе пренебрежительно нет никаких разумных оснований.

Пример 5. Докажите, что для любого множества , .

Это – важный результат теории множеств: только благодаря ему пересечение существует для любых двух множеств.

Пусть  – произвольное множество. Включение, которое нужно доказать, означает: для любого , если , то . Это есть импликация с ложной посылкой. Утверждается, что она справедлива для любого . Докажем это.

Доказательство. Предположим противное. Тогда найдётся  такой, что , но . Это, однако, невозможно, ибо невозможно даже, чтобы .

Пример 6. При каких  все решения неравенства  принадлежат промежутку ?

Решение. Либо , либо . Если , квадратный трёхчлен имеет не более одного корня. Тогда промежуток между корнями пуст. Значит, неравенство решений не имеет и потому все его решения принадлежат промежутку . Действительно, если бы это было неверно, то нашлось бы решение данного неравенства, не принадлежащее указанному промежутку. Это, однако, невозможно, ибо неравенство, как мы установили, решений не имеет. Итак, при , (т.е. при ) все решения данного неравенства принадлежат промежутку . Далее обычным образом рассматривается случай . На нём мы не останавливаемся, ибо он не связан с темой нашей статьи.

Заметим, что обычно рассмотренный нами случай исключают из рассмотрения, заявляя, что раз решений нет, то они не принадлежат нужному промежутку. Причина этой ошибки, как видим, тоже кроется в неправильном понимании импликации.

Могут возразить, что рассмотренный нами случай чересчур сложен для школьников. Вероятно. Однако в таком случае не следует и предлагать им подобные задачи. Но, предложив, решать нужно правильно, а не подменять «честное» рассмотрение ложными «упрощениями».

Чтобы окончательно успокоить всех, кого волнует признание истинной импликации с ложной посылкой, заметим, что оно не может причинить никакого вреда. В самом деле, чтобы применить импликацию, нужно убедиться в том, что выполняется ее посылка, и тогда на основании истинности импликации окажется, что выполняется и ее заключение. Если же посылка импликации ложна, убедиться в том, что она выполняется нельзя. Стало быть, и применить такую импликацию невозможно.

 

Литература.

 

1. Назиев А. Х. Вводный курс математики (Элементы математической логики): Учебное пособие / РГПУ. − Рязань, 2000.

2. Слупецкий Е., Борковский Л. Элементы математической логики и теория множеств. – М., 1965.

3. Смаллиан Р. Как же называется эта книга? / Пер. с англ. Ю. А. Данилова. − М., 2007.

 

Поступила в редакцию 25 декабря 2007 г.

2006-2019 © Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов.
Все материалы, размещенные на данном сайте, охраняются авторским правом. При использовании материалов сайта активная ссылка на первоисточник обязательна.