Импликация
с ложной посылкой.
Назиев Асланбек Хамидович,
доктор педагогических наук, профессор, заведующий кафедрой математического
анализа,
Алёшина Наталья Петровна,
аспирант,
Рязанский Государственный Университет им. С. А. Есенина.
Признание истинной импликации с ложной посылкой до сих пор многим кажется неверным, неестественным, ненужным или даже нелепым. Все эти слова с приставкой «не» звучат в адрес импликации начиная с III века до н. э., когда Филон Мегарский сформулировал соглашение об истинностном значении последней, а именно: Условное предложение считается неверным, когда посылка его верна, а заключение – неверно, и считается верным во всех остальных случаях. Видимо споры по этому вопросу и тогда были очень оживленными, что отражено в эпиграмме датированной II веком до н. э. − «Уже вороны на крыше каркают, какая же импликация правильная» [2]. Подобные споры продолжаются и по настоящее время, приобретая порой комическую форму.
Например, один философ испытал сильнейшее потрясение, узнав от Бертрана Рассела, что из ложного утверждения следует любое утверждение. Он спросил: «Вы всерьез считаете, что из утверждения «два плюс два – пять» следует, что вы Папа Римский?» Рассел ответил утвердительно. «И вы можете доказать это?» − продолжал сомневаться философ. «Конечно!» − последовал уверенный ответ, и Рассел тотчас же предложил такое доказательство:
1) Предположим, что 2+2=5.
2) Вычтем из обеих частей по 2, получим 2=3.
3) Переставим правую и левую части, получим 3=2.
4) Вычтем из обеих частей по 1, получим 2=1.
Папа Римский и я – нас двое. Так как 2=1, то Папа Римский и я – одно лицо. Следовательно, я – Папа Римский [3].
Посмотрим на приведенное доказательство. Доказано ли, что 2+2=5? Нет. Может быть, доказано, что Бертран Рассел – Папа Римский? Тоже нет. А что же доказано? В точности то, что утверждалось: «Если 2+2=5, то Бертран Рассел – Папа Римский». И ничего больше.
Подобные доказательства многим кажутся «не настоящими», хотя устроены они так же, как и те доказательства, которые не вызывают возражений. Причин, вызывающих сомнения, несколько. Одна из них заключается в том, что ложность посылок в доказываемых импликациях очевидна. То же самое происходит, когда очевидна истинность посылки, истинность или ложность заключения. Например, скажи мы
если 
, то 
– и нам
тотчас же возразят: «Как это «если »? Разве Вы не знаете, что 
действительно меньше 
?» Или заяви мы:
если 
, то 
– и нам тут
же скажут: «При чем здесь «если »? и без того».
А все дело в том, что импликацию обычно формулируют лишь в тех случаях, когда заранее не известно, истинны или ложны составляющие ее предложения. Как правило, это бывают предложения с переменными, выполняющиеся при одних значениях переменных и не выполняющиеся при других. Поэтому-то нам и нужно решить, как расценивать импликацию во всех возможных случаях, а не только в тех, когда посылка и заключение истинны. И принятое нами соглашение прекрасно согласуется обычной математической практикой. Например:
Пример 1. Докажите, что для любых действительных чисел 
и 
, если 
, то 
.
Доказательство. Пусть . В силу аксиомы, каковы бы ни были действительные числа , и 
, если , то 
. По условию 
. Значит, , что и требовалось. Следовательно, импликация истинна для
любых действительных чисел и таких, что . Пусть теперь 
, то есть посылка импликации ложна. Но и в этом случае
импликация истинна в силу принятого нами соглашения. Таким образом, импликация
«если , то » истинна для любых действительных чисел и .
Кроме того, в повседневной жизни мы именно так применяем и понимаем импликации. Например, знакомый обещает следующее: «Если у меня будет свободное время, то я куплю тебе билеты на концерт». В каком случае знакомый Вас обманет? Ответ ясен: если у него будет свободное время, а билеты на концерт он не купит. Во всех остальных случаях он поступит в точности так, как и обещал:
1) У него будет свободное время, и он купит билеты на концерт (посылка и заключение импликации истинны).
2) Он будет занят, и у него не будет возможности купить билеты (посылка и заключение импликации ложны).
3) У него не будет свободного времени, но он все равно найдет возможность купить билеты (посылка импликации ложна, а заключение истинно). Что же, и в этом случае знакомый Вас не обманул. Он говорил только о том, что он сделает, если у него будет свободное время, о том же, что он сделает, если его не будет, он ничего не говорил – может быть, он попросит съездить в кассу кого-нибудь еще.
Другая
причина сомнений в необходимости признания истинной импликации с ложной
посылкой заключается в том, что импликацию нередко смешивают с конъюнкцией.
Спросим в любой ученической или даже учительской аудитории: «Существуют ли
действительные числа 
и 
такие, что, если 
, то 
?» Аудитория уверенно ответит: «Нет, потому, что не может
быть одновременно и », – наглядно демонстрируя, тем самым, что путает импликацию
с конъюнкцией. Эта путаница, кстати, – довольно распространённое явление. Мы
часто читаем в прессе и слышим по радио и телевидению примерно следующее: «Если
немцы предпочитают пиво, то русские – водку»; «Если африканцу при 
градусах тепла
холодно, то эскимосу – жарко», и т. п. Во всех этих предложениях вместо
«если__, то__» должно стоять «а» (в смысле «и»).
Ещё одна
причина заключается в том, что импликацию сплошь и рядом путают с обратной
импликацией. Обратимся к той же аудитории с вопросом: «Верно ли, что, если 
, то 
?». В ответ услышим дружное: «Неверно, потому, что если , то 
». – Ответ, свидетельствующий о том, что импликацию, о
которой мы спрашивали, спутали с обратной к ней импликацией.
Последняя из причин, которую мы назовем, заключается в том, что соглашение об истинности импликации с ложной посылкой, как правило, лишь сообщается, задачи же на доказательство импликаций с ложной посылкой не решаются. А зря, ибо эти задачи не только убеждают в целесообразности и естественности указанного соглашения, но и являются (как показывают приведённые нами наблюдения) эффективным средством борьбы с указанными выше недостатками в употреблении импликации. Рассмотрим несколько таких примеров.
Пример 2. Докажите, что, для любого
действительного числа ,
если 
, то .
Доказательство.
Пусть . Тогда 
, так что 
. С другой стороны, как мы знаем, 
. Значит, 
и, тем самым, 
. Теперь, и , значит, 
. Наконец, из того, что и получаем, что . Это и требовалось.
Пример 2′. Верно ли, что, для
любого действительного числа ,
если , то ?
Ответ. Неверно,
потому что если , то 
.
Пример 3. Докажите, что существуют
действительные числа и такие, что
если , то .
Доказательство.
Для любых действительных чисел и , если , то 
. В частности, при 
получаем: если , то (заменяя во втором
неравенстве () на , на ).
Пример 3′. Существуют ли
действительные числа и такие, что
и ?
Ответ. Нет,
так как, в соответствии с аксиомой порядка, отношение меньшинства линейно, то
есть каковы бы ни были действительные числа и , или , или 
.
Пример 4. Докажите, что для любого
действительного числа ,
если 
, то 
.
Доказательство.
Пусть . Тогда 
, так что , что и требовалось доказать.
Какая польза
от этого примера? Очевидная: поскольку заключение доказанной импликации ни при
каких не выполняется, и
посылка ни при каких не выполняется. Тем
самым доказано, что равенство на множестве
действительных чисел невозможно. А ведь такие ситуации в математической практике
встречаются сплошь и рядом. Мы делаем выводы из гипотез, не зная, верны они или
нет, и, приходя к неверным заключениям, получаем, что и гипотезы неверны. А это
означает, что фактически мы доказывали импликации с ложными посылками. Как
видим, доказательство импликаций с ложными посылками является неотъемлемой
составной частью научного поиска, и относиться к этой работе пренебрежительно
нет никаких разумных оснований.
Пример 5. Докажите, что для
любого множества 
, 
.
Это – важный результат теории множеств: только благодаря ему пересечение существует для любых двух множеств.
Пусть – произвольное
множество. Включение, которое нужно доказать, означает: для любого , если 
, то 
. Это есть импликация с ложной посылкой. Утверждается, что
она справедлива для любого . Докажем это.
Доказательство.
Предположим противное. Тогда найдётся такой, что , но 
. Это, однако, невозможно, ибо невозможно даже, чтобы .
Пример 6. При каких 
все решения неравенства 
принадлежат промежутку
?
Решение. Либо
, либо 
. Если , квадратный трёхчлен имеет не более одного корня. Тогда
промежуток между корнями пуст. Значит, неравенство решений не имеет и потому все его решения принадлежат промежутку . Действительно, если бы это было неверно, то нашлось бы
решение данного неравенства, не принадлежащее указанному промежутку. Это,
однако, невозможно, ибо неравенство, как мы установили, решений не имеет. Итак,
при , (т.е. при 
) все решения данного
неравенства принадлежат промежутку . Далее обычным образом рассматривается случай . На нём мы не останавливаемся, ибо он не связан с темой
нашей статьи.
Заметим, что обычно рассмотренный нами случай исключают из рассмотрения, заявляя, что раз решений нет, то они не принадлежат нужному промежутку. Причина этой ошибки, как видим, тоже кроется в неправильном понимании импликации.
Могут возразить, что рассмотренный нами случай чересчур сложен для школьников. Вероятно. Однако в таком случае не следует и предлагать им подобные задачи. Но, предложив, решать нужно правильно, а не подменять «честное» рассмотрение ложными «упрощениями».
Чтобы окончательно успокоить всех, кого волнует признание истинной импликации с ложной посылкой, заметим, что оно не может причинить никакого вреда. В самом деле, чтобы применить импликацию, нужно убедиться в том, что выполняется ее посылка, и тогда на основании истинности импликации окажется, что выполняется и ее заключение. Если же посылка импликации ложна, убедиться в том, что она выполняется нельзя. Стало быть, и применить такую импликацию невозможно.
Литература.
1. Назиев А. Х. Вводный курс математики (Элементы математической логики): Учебное пособие / РГПУ. − Рязань, 2000.
2. Слупецкий Е., Борковский Л. Элементы математической логики и теория множеств. – М., 1965.
3. Смаллиан
Р. Как же называется эта книга? / Пер. с англ. Ю. А. Данилова. − М.,
2007.
Поступила в редакцию 25 декабря