ISSN 1991-3087

Свидетельство о регистрации СМИ: ПИ № ФС77-24978 от 05.07.2006 г.

ISSN 1991-3087

Подписной индекс №42457

Периодичность - 1 раз в месяц.

Вид обложки

Адрес редакции: 305008, г.Курск, Бурцевский проезд, д.7.

Тел.: 8-910-740-44-28

E-mail: jurnal@jurnal.org

Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100
Яндекс.Метрика

Метод синтеза двоичных  последовательностей с квазиодноуровневой автокорреляцией и периодом .

 

Едемский Владимир Анатольевич,

кандидат физико-математических наук, доцент,

Вагунин Иван Сергеевич

аспирант,

Новгородский Государственный Университет.

 

Введение.

 

Двоичные  последовательности (ДП) с одноуровневой периодической автокорреляционной функцией (ПАКФ) широко используются  в различных областях [1]. Существенный недостаток известных ДП заключается в том, что они  имеют относительно редкую сетку периодов и, как следствие, их мало. В то же время для целого ряда прикладных задач, например, в системах с шумоподобными сигналами, допустимо, чтобы  ПАКФ обладала несколькими уровнями боковых лепестков, при условии, что разница между наибольшим и наименьшим    не превышала заданного порогового значения  или относительная разность   не превышает заданного  порога  , где  - вес ДП [2].  В [3] предложена методика синтеза ДП, сформированных на основе классов степенных вычетов, с ПАКФ близкой к одноуровневой (квазиодноуровневой) и простым периодом. Одним из недостатков указанной методики является ограничение на период последовательности, который всегда должен быть простым числом.

Цель настоящей статьи заключается разработке метода синтеза ДП составного периода , где  - простое число, а  - натуральное число, взаимно простое с , на основе вышеупомянутой методики. В процессе исследования будут найдены необходимые условия синтеза ДП составного периода  с заданными ограничениями на ПАКФ и приведены примеры синтеза ДП.

Нагреватель битума погружной

Промышленные нагреватели

bitum.usgz.ru

 

1. Конструирование ДП составного периода  на основе последовательностей простого периода.

 

В этом разделе исследуем автокорреляционную функцию ДП составного периода , сформированную с использованием ДП  периода : .

Обозначим через  - наименьший положительный вычет целого числа  по модулю . Рассмотрим  ДП  периода , сформированную по правилу кодирования (ПК):

                                                                                                         (1)

Пусть , соответственно, ПАКФ ДП и , а  - периодическая взаимно корреляционная функция (ПВКФ) пары последовательностей , здесь  - целое число.

Теорема 1. Если ДП  сформирована по ПК (1), то ее ПАКФ

Доказательство. По определению ПАКФ . Если , то, согласно ПК (1), . Таким образом, , что и доказывает теорему.

Следствие 1.1. Если ДП  сформирована по ПК (1), то

Таким образом, ПК (1) определяет ДП периода mp, ПАКФ которых определяется ПАКФ и ПВКФ ДП периода . Теорема 1 позволяет выделить два способа конструирования ДП с квазиодноуровневой ПАКФ и составным периодом. Первый заключается в том, чтобы из наборов ДП простого периода с квазиодноуровневой ПАКФ выделить те, у которых указанная в теореме 1 сумма ПВКФ удовлетворяет заданному ограничению. Второй подход заключается в определении требований к ПВКФ пар последовательностей и анализе, согласно теореме 1, соответствующей суммы ПАКФ.

При дальнейших исследованиях ограничимся вариантом, когда последовательности  сформированы по обобщенному ПК [1]:

                                                                    (2)

Здесь , где  - натуральные числа, - класс степенных вычетов с номером , ,  - первообразный корень по модулю ,  подмножества индексов . Далее, всегда предполагаем, что ДП с простым периодом сформированы по ПК (2).

Чтобы ограничить число последовательностей простого периода, которые можно использовать в ПК (1), найдем необходимые условия существования ДП с ПАКФ близкой к одноуровневой.

 

2. Необходимые условия существования ДП с квазиодноуровневой ПАКФ и составным периодом.

 

В этом разделе определим необходимые условия существования ДП составного периода с разницей  между наибольшим и наименьшим значениями боковых лепестков ПАКФ не большей .

Пусть  - среднее арифметическое значений ПАКФ , сформированной по ПК (1), при , . Согласно [3],  или:

,                                                                                                        (3)

где  и .

Лемма 1. Если ПАКФ ДП, сформированной по ПК (1), удовлетворяет условию , то:

1. .

2. .

Доказательство. 1. Согласно следствию 1.1, значения ПАКФ  принадлежат множеству , следовательно, .

3. Из определения  следует, что . Подставляя значения ПАКФ  и  из (3), получаем указанные неравенства.

Следствие. Если , то, в условиях леммы 1, значения  не зависят от ,  и

,                                                                                                            (4)

где  - общее значение , а .

Доказательство. При выполнении условий следствия  - постоянно, то есть   и . Из определения  следует, что в этом варианте порядки  равны и .

В частности, это означает, что при кодировании каждой из ДП  используется одно и тоже число классов степенных вычетов. В этом варианте, согласно определению,  - четно для четных значений .

 

3. Примеры синтеза  ДП с квазиодноуровневой ПАКФ.

 

Рассмотрим два  примера синтеза ДП  на основе классов биквадратичных вычетов. Для ДП простого периода, сформированных на основе классов биквадратичных вычетов, рельефы ПАКФ и ПВКФ определены в [4] посредством разложения периода  - целые числа [5].

Если последовательности определены на основе одного класса биквадратичных вычетов, то, согласно (4), наименьшее значение , при котором семейство ДП, сформированных по ПК (1), обладает квазиодноуровневой ПАКФ с малым значением , равно восьми.

Теорема 2. ДП , сформированная по ПК (1,2) при , нечетном значении  и ,  или ,  обладает многоуровневой ПАКФ  ,  с .

Доказательство. В силу  теоремы 1, если  , то .  Согласно [4],  и ПАКФ других ДП  отличаются от указанной только циклическим сдвигом на элемент подмножества . Суммируя, получаем, что .

Если же , то для вычисления ПАКФ, согласно теореме 1 и условию, достаточно воспользоваться свойствами ПВКФ и следующими соотношениями [4]:

,

,

Суммируя по теореме  1, получаем, что . Теорема доказана.

Следствие 2.1.  Если , то ДП, сформированная по ПК (1,2), имеет трехуровневую ПАКФ ,  с .

Примеры значений , удовлетворяющих условиям следствия  2.1:

17, 37, 101, 197, 257, 401, 677,1297, 1601,… 

Если же  при кодировании используются ДП простого периода на основе двух классов биквадратичных вычетов, то наименьшее значение , согласно следствию из леммы 1, равно  . Это вариант был исследован в [6,7], поэтому здесь рассмотрим случай, когда .

Теорема 3. ДП , сформированная по ПК (1,2) при , нечетном значении  и ,  или , ,  обладает многоуровневой ПАКФ  ,  с .

Доказательство. Согласно теореме 1, если  , то . В частности, если ДП  сформирована по ПК (2) для  при нечетном значении , то:

,                                   (5)

Суммируя, с учетом (5) и свойств ПАКФ, получаем, что .

Если же  , то . Согласно условию и [4], , а

,

 ,                    (6)

Воспользовавшись теоремой 1, из (5) и (6), получаем, что . Аналогично, использование формул (5) и (6) позволяет показать, что , , что и доказывает теорему.

Следствие 3.1.  Если , то ДП, сформированная по ПК (1), имеет трехуровневую ПАКФ ,  с .

Примеры значений , удовлетворяющих условиям следствия  3.1: 29, 53, 173, 229, 293,733,1093, 1229, 1373,….

Таким образом, теоремы 2 и 3 определяют достаточные условия синтеза ДП с квазиодноуровневой ПАКФ.

 

Заключение.

 

Предложен метод  синтеза двоичных последовательностей, сформированных на основе  классов степенных вычетов, с автокорреляцией близкой к одноуровневой и составным периодом. Определены необходимые условия существования двоичных последовательностей с квазиодноуровневой автокорреляцией. Определены достаточные условия синтеза двоичных последовательностей с периодами  и  с квазиодноуровневой периодической автокорреляционной функцией.

 

Литература.

 

1. Свердлик М. Б. Оптимальные дискретные сигналы.-М:,1975.-200с.

2. Гантмахер В.Е., Быстров Н.Е., Чеботарев Д.В. Шумоподобные сигналы. Анализ, синтез, обработка. СПб.: Наука и техника, 2005. 400 с.

3. V.E. Gantmakher, V.A. Edemskiy. The Synthesis Methodology of Periodic Discretely Coded Sequences Formed Basing on Cyclotomic Classes with Basic Parameters Constraints. Proceedings of 2007 International Workshop on Signal Design and Its Applications in Communications (IWSDA’07). China. 2007, pp. 4-8.

4. Гантмахер В.Е., Едемский В.А. Результаты синтеза двоичных последовательностей с квазиодноуровневой автокорреляционной функцией, формируемых на основе классов вычетов по простому модулю. Известия вузов. Радиоэлектроника. 2007. вып. 4, с. 14-23.

5. Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. М., Мир, 1987. 416 с.

6.  Гантмахер В.Е., Едемский В.А., Платонов С. М. О синтезе дискретно-кодированных последовательностей периода . Сб. докл. 10-ой международной конференции "Цифровая обработка сигналов и её применения". - М.: 2008 г. т. 1, с.16-19.

7. Ding C., Helleseth T., Martinsen H. New families of binary sequences with optimal three-level autocorrelation, IEEE Trans. Info. Theory, vol. IT-47,

pp. 428 - 433, Jan 2001.

 

Поступила в редакцию 05.05.2008 г.

2006-2018 © Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов.
Все материалы, размещенные на данном сайте, охраняются авторским правом. При использовании материалов сайта активная ссылка на первоисточник обязательна.