О возможности анализа спектров сигналов
в спиновых эхо-процессорах в реальном масштабе времени
Ковалевский
Михаил Михайлович,
кандидат физико-математических наук, доцент
кафедры теоретической и математической физики,
Соколов
Олег Владимирович,
аспирант кафедры теоретической и
математической физики.
Новгородский государственный университет
им. Ярослава Мудрого.
В статье исследуется возможность
получения в спиновых эхо-процессорах (СЭП) спектров сигналов в реальном
масштабе времени без применения дополнительных устройств. Показано, что при
использовании трехимпульсной методики управляющий сигнал однозначно
определяется исследуемым сигналом. При заданном управляющем сигнале, в
частности с линейной частотной модуляцией (ЛЧМ),
в СЭП можно получить спектр в реальном масштабе времени только для исследуемого
сигнала, принадлежащего некоторому дискретному набору.
Ключевые слова:
спиновое эхо, спектры сигналов.
Известны
применения спинового эха для создания управляемых линий задержек и других устройств
обработки сигналов [1,6]. Спиновые эхо-процессоры (СЭП), принцип действия
которых основан на явлениях спинового или светового эха, отличаются простотой
изготовления и настройки, относительно малыми габаритами. В [2] показано, что в
СЭП возможно осуществить получение спектров сигналов в реальном масштабе
времени трехимпульсным методом, используя в качестве третьего управляющего
импульса сигнал с линейной частотной модуляцией (ЛЧМ), при выполнении условия
, (1)
где t1 – длительность анализируемого сигнала, τ –
длительность ЛЧМ, 2Δf – величина
девиации частоты ЛЧМ импульса. Также при этом необходимо использование фазового
детектора. В [5,8] удалось исключить неравенство (1) путем введения предварительной
операции гетеродинирования анализируемого сигнала. Необходимо отметить, что условие
(1) ограничивает возможность анализа спектров сложных фазоманипулированных
сигналов, длительность которых сравнима или превышает .
Целесообразно установить
возможность получения в спиновых эхо-процессорах спектров сигналов в реальном
масштабе времени по трехимпульсной методике
без применения дополнительных устройств.
Известно
[6,7], что спектральная функция стимулированного трехимпульсного эха в
малосигнальном приближении без учета релаксации может быть записана в виде
, (2)
где S1(ω) —спектральная
функция первого импульса; S2(ω)
—спектральная функция второго импульса; S3(ω)
— спектральная функция третьего импульса; A
= const; g(ω) — форма неоднородноуширенной
линии поглощения рабочего вещества, T
и τ2 – соответственно
моменты времени, в которые начинают действовать третий и второй радиоимпульсы.
Тогда, очевидно, сигнал на выходе СЭП запишется как
, (3)
где .
Поскольку
рабочее вещество обладает конечной шириной неоднородноуширенной линии поглощения,
потребуем, чтобы спектральная функция первого поступающего на СЭП радиоимпульса
была постоянна в пределах ширины линии, т. е.
. (4)
В
качестве второго импульса будем использовать сигнал, спектр которого необходимо получить.
Его спектральная плотность:
. (5)
Из (2) видно, что спектр
эхо-сигнала зависит от спектров всех трех импульсов, так что представляется
сомнительным, что для произвольного анализируемого сигнала в качестве
управляющего импульса подойдет ЛЧМ-сигнал. Поэтому, будем искать такой управляющий
сигнал, который на выходе СЭП позволил бы получить спектр исследуемого сигнала
в реальном масштабе времени, и покажем, что каждому анализируемому сигналу
должен соответствовать управляющий сигнал, спектр которого должен зависеть от свойств
обрабатываемого сигнала. Очевидно, что в этом случае спектр третьего сигнала
должен удовлетворять интегральному уравнению Фредгольма 1-го рода
, (6)
где η и α –
масштабные коэффициенты.
С
помощью обратного преобразования Фурье получаем
, (7)
где.
Подставляя (5) в правую часть (7)
получаем после несложных преобразований, используя свойства интеграла Фурье,
. (8)
По спектру легко находится сам
необходимый третий сигнал.
Для иллюстрации приведем результат,
полученный численным моделированием. Пусть обрабатываемый сигнал есть простой
радиоимпульс. На рис. 1 изображены модуль и фаза управляющего импульса,
рассчитанные для параметров .
Таким образом, спектральный
анализ неизвестного a priori сигнала в реальном времени затруднителен, так как
управляющий сигнал определенным образом зависит от спектральных свойств
исследуемого сигнала.
a) b)
Рис. 1.
Модуль (a) и фаза (b) управляющего импульса.
Интересен вопрос, каким должен
быть спектр исследуемого сигнала, чтобы при использовании в качестве
управляющего импульса сигнала ЛЧМ на выходе СЭП получался этот спектр в
реальном масштабе времени.
Очевидно, в этом случае, спектр
исследуемого сигнала S2(ω) должен удовлетворять уравнению
, (9)
где .
При спектр
ЛЧМ S3(ω) с
достаточной степенью точности описывается выражением [4]
(10)
при и равен нулю в остальном
частотном диапазоне, β –
скорость изменения частоты в импульсе.
Тогда уравнение (9) преобразуется
к виду
. (11)
При замене переменной для S2(ω) получаем
, (12)
где .
Удобно еще сделать замену , при этом (12) переходит в
. (13)
После введения новой искомой
функции получается однородное уравнение Фредгольма 2-го рода
(14)
с ядром
, (15)
.
Заменим ядро вырожденным [3], для
этого разложим экспоненту в ряд Тейлора , ограничившись членами до n-го порядка
. (16)
Таким образом, ядро примет вид:
(17)
Подставляя вырожденное ядро (17)
в уравнение (14) получаем
, (18)
где
. (19)
Подстановка (18) в (19) приводит
к системе уравнений
(20)
для определения собственных чисел
и собственных векторов квадратной матрицы C
с элементами
(21).
Задавая определенное число n, мы получим n собственных чисел и n соответствующих им собственных векторов .
Каждому и будет соответствовать
искомая функция
, (22)
по которой легко найти спектр
исследуемого сигнала, а по нему определить сам сигнал.
Например,
для ЛЧМ с параметрами при получены решения, показанные на рис. 2.
l=1 l=3 l=5
a)
b)
Рис. 2.
Модуль (a) и фаза (b) исследуемого сигнала для (слева), (в центре) и (справа).
Итак, можно сделать вывод, что
при заданном управляющем сигнале, в частности ЛЧМ, в СЭП можно получить спектр
в реальном масштабе времени только для сигналов, принадлежащих некоторому дискретному
набору.
Форма неоднородной линии уширения
и спектр исследуемого
импульса входят в формулу (2)
одинаковым образом, поэтому по аналогии с методами, развитыми в [2,5,8], СЭП
можно использовать для экспресс-анализа формы неоднородной линии уширения.
Литература
1.
Баруздин
С. А., Устинов В. Б. Эхо-процессор – многофункциональное устройство обработки
сигналов. – В кн.: Методы функциональной электроники в реализации радиотехнических
устройств: Сб. тр. – Киев: 1982, С. 88 – 92.
2.
Иванов
Ю. В., О возможности анализа спектров сигналов в спиновых устройствах в
реальном масштабе времени, Радиотехника и электроника, 1977, Т. 22, № 5, С.
1008-1013.
3.
Калиткин
Н. Н., Численные методы, Главная редакция физико-математической литературы
изд-ва «Наука», М.: 1978. 512 с.
4.
Кук Ч.,
Бернфельд М., Радиолокационные сигналы Теория и применение, «Советское радио»,
М.: 1971. 568 с.
5.
Соколов
С. Л., Иванов Ю. В., Гетеродинный способ анализа спектров при помощи эффекта спинового
эхо, Радиотехника и электроника, 1979, Т. 24, № 1, С. 99-104.
6.
Устинов
В. Б., Ковалевский М. М., Баруздин С. А. // Изв. АН СССР. Сер. физ. 1986,
Т. 50. № 8. С. 1495 – 1499.
7.
Устинов В. Б., Рассветалов Л.А.,
Ковалевский М.М. // Изв. ЛЭТИ. 1979. Вып. 135. С. 10-18.
8.
Петров
Николай Иванов, Метод за анализ на спектър на сигнали, http://ecad.tu-sofia.bg/et/2000/Statii%20ET2000-III/Method%20for%20Analysis%20on%20the%20Spectrum%20of%20Signals.pdf.
Поступила
в редакцию 16.02.2011 г.