ISSN 1991-3087

Свидетельство о регистрации СМИ: ПИ № ФС77-24978 от 05.07.2006 г.

ISSN 1991-3087

Подписной индекс №42457

Периодичность - 1 раз в месяц.

Вид обложки

Адрес редакции: 305008, г.Курск, Бурцевский проезд, д.7.

Тел.: 8-910-740-44-28

E-mail: jurnal@jurnal.org

Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100
Яндекс.Метрика

Решение нормального эллиптического интеграла Лежандра 2-го рода

.

 

Мазенков Игорь Иванович,

ведущий инженер-конструктор ЗАО «Коминвест-АКМТ».

 

В интегральном исчислении, эллиптический интеграл появился в связи с задачей вычисления длины дуги эллипса и был впервые исследован Джулио Фаньяно и Леонардом Эйлером.

В общем случае, эллиптический интеграл не может быть выражен в элементарных функциях; исключением являются случаи, когда P имеет повторяющиеся корни или когда R(x,y) не содержит нечетных степеней y.

Для нахождения решения эллиптического интеграла я рассмотрел эллипс как трехмерную функцию, все точки которой лежат в одной плоскости под углом α к плоскости круга (частного случая эллипса, где k=1). В результате получил следующее решение эллиптического интеграла 2-го рода:

(1)

Где: 0<Θ<90 (т.е. в пределах ¼ эллипса), 0≤k≤1 (коэффициент сжатия эллипса).

 

Рис. 1.

 

Доказательство

 

Для решения эллиптического интеграла рассмотрим эллипс как трехмерную функцию, все точки которой лежат в одной плоскости.

В плоскости XZ строим эллипс с коэффициентом сжатия k (0≤k≤1) так, как показано на рис. 2.

Через большую ось эллипса проводим плоскость под таким углом α, чтобы получить окружность радиусом R:

                                                                                                     (2).

Далее, если условно катить эллипс по плоскости XY вдоль оси Х, то получим развертку эллипса где , одновременно на плоскости XY будет образовываться развертка окружности, где:

;

                                                                                       (4)

 - угол касательной в т. М                                               (5)

 

Рис. 2.

 

При повороте эллипса на 900 вдоль ось Х развертка эллипса и кривая окружности в плоскости XY сойдутся в т.D’ так, что образуют касательную под углом

При различных k (0≤k≤1) в плоскости ХY образуется семейство кривых от окружностей. При k=1 эллипс является кругом и длина ¼ развертки на оси Х равна длине ¼ длины окружности:

 .

При k=0 у эллипса один из радиусов стремится к нулю и α=900 . При этом кривая окружности на плоскости полностью совпадает с самой окружностью (радиусом R). Соответственно, длина эллипса при угле φ равна l=Rcosφ.

Особый интерес представляют кривые при 0<k<1.

Рассмотрим отдельно эти кривые на плоскости ХY (рис. 3).

 

Рис. 3.

 

Длина всех этих кривых одинаковая (для искомого угла ϕ 0≤ϕ≤90). С’M’- известно. BC’- известно.

Осталось определить .

Для этого все кривые сместим влево так, чтобы точки D совпали с началом координат О (рис. 4).

При уменьшении коэффициента сжатия эллипса k кривая окружности на плоскости XY распрямляется. При этом хорда rϕ начинает увеличиваться на величину  и получаем:

                                                                                                         (6)

Дальше, по теореме Пифагора определяем искомую длину дуги эллипса lэл при угле ϕ:

                                                                                              (7)

 

Рис. 4.

 

Подставив все найденные параметры в ф-лу (7), окончательно получим:

 

или

 

Литература

 

1.                  Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, М., Наука, 1976.

2.                  Пискунов Н.С. Дифференциальные и интегральные исчисления. В 2-х томах. Том 2. Интегралл-Пресс. 2009.

3.                  Зарубин В.С. Интегральные исчисления функций одного переменного. Том 6. МГТУ им. Баумана. 2006.

 

Поступила в редакцию 14.12.2011 г.

2006-2018 © Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов.
Все материалы, размещенные на данном сайте, охраняются авторским правом. При использовании материалов сайта активная ссылка на первоисточник обязательна.