Особенность делимости чисел при сравнении по ненулевому рациональному модулю

Карпунин Иван Иванович,

доктор технических наук, профессор Белорусского национального технического университета,

Подлозный Эдуард Дмитриевич,

кандидат технических наук, старший научный сотрудник, доцент ЧУО «БИП – институт правоведения», г.Минск.

Ранее [1-4] нами предложено сравнение чисел по ненулевому рациональному модулю и показано, что оно обладает теми свойствами, что известное обычное сравнение. При этом значительно расширилось доказательство ранее недоказуемых высказанных предложений. К сожалению, от математиков не поступает никаких сведений о нулевом рациональном модуле применительно для доказательства в математике.

Из литературных источников [5, 6] известны свойства сравнения , т.е. два числа а и b являются сравнимыми по модулю третьего натурального числа , если имеются такие натуральные числа m и n, что а + mc = b + nc. Иначе это можно сказать, что а и b лежат в одной прогрессии с разностью с, т.е. разность а – b делится на с и а и b при делении на их на c дают одинаковые остатки.

Нами показано [3], что всякое натуральное число сравнимо по ненулевому рациональному модулю независимо от того делится или не делится а на k (а,так как это аналогично сравнению а0 (mod) в нашем случае b=0), с может быть целым или дробным числом >1 (с=а:k).

Если k принимает значения 1,2,3,…,а, то при к=1 и к=а имеем случай, аналогичный тому, какое имеет простое число (делится на 1 и само себя). В том случае число a – простое, а с дробное или целое число  1.

При этом k может принимать значения 2,3,…,а-1 и возникать частный случай, когда а:k=c – целое или дробное число. Это означает, что а, где (а-b):c=f, где f-целое или дробное число.При этом (при использовании сравнения а при делении разности a-b на (а-b):c при с=2,3,…,(а-b)-1) f1, а при с= 1,2,3,…, а-b f1. То же относится и к сравнению а0 (mod).   

Предложенное нами сравнение по ненулевому рациональному модулю обладает почти теми же свойствами, что и обычное сравнение, но с некоторым отличием. Важно то, что сравнимость по ненулевому рациональному модулю является отношением эквивалентности, что и обычное известное сравнение [4], т.е. рефлексивно, симметрично и согласуется как со сложением, так и с умножением чисел.

Проиллюстрируем на обычном числовом примере: 350(mod 5) (mod); 350(mod 3)0(mod ), где f может быть дробным или целым числом 1 (c=2,3,…,34).Аналогично это относится и к примеру:

370(mod ), где 37:к=с, исключая случаи, когда к=1 и к=37, когда после деления 37 на к - с-целое число (к1). То же это относится и к числу 35.

Следует заметить, что при а:=f₁, либо а-b на  образуются множество целых чисел (с) в зависимости от множества значений целых и дробных f₁и f₂  1. Это означает, что при делении числа а и а-b на множество указанных чисел (дробных или целых, больших либо равных 1) всегда получается множество целых чисел.

Использование сравнения по ненулевому рациональному модулю имеет особое значение для математики в области теории чисел для доказательства теорем как элементарными, так и неэлементарными способами.

Обобщая имеющиеся источники и полученные нами данные, предлагается следующее.

1.                  Доказать, имеет ли решение в целых числах уравнение (х-у)^.(х+у)^.(х² + ху + у²)^… (х^n-1 + x^n-2 y +… + у^n-2 x + y^n-1 ) = zⁿ ( xy0; n3; n – простое число).

2. Доказать, имеет ли решение в целых числах уравнение 2^.3^…(х-1)^.х - 2^.3^…(у-1)^.у =zⁿ в целых числах (ху; n 3; n-простое число).

3. Доказать, имеет ли решение уравнение х^n-1+x^{n -2}y+^…+y^n-2x+y^n-1=z^n-1 в целых числах (n-простое число5, xy 0). При п=3 и х=5, y=3 равенство выполняется.

4. Доказать, имеет ли решение уравнение хⁿ +x^n-1y+^…+y^n-1x+yⁿ=z^m в целых числах (mn; m,n3; x y0).

5. Доказать, может ли сумма двух чисел a и b (a b) быть степенью n третьего целого числа c (a+b=cⁿ), если они имеют обратный порядок расположения цифр в числе (n3, количество цифр одинаковое).

6. Доказать, может ли уравнение xⁿyⁿ+s^pt^k=z^h иметь решения в целых числах при n, h,m,n,p,k3 – простые числа, xyst0.

7. Доказать, может ли уравнение (x+y)ⁿ-(xⁿ+yⁿ)=zⁿ иметь решения в целых числах при n≥5 (x≠y≠0; n-простое число).

8. Доказать, может ли уравнение (x+y)ⁿ- (x^m+y^m)=z^p иметь решения в целых числах (x≠y≠0; m≠n≠p; m<n; m,n,p≥3-простые числа).

9. Доказать, может ли уравнение(xⁿ+ x^n-1y+…+xy^n-1+yⁿ)-(x^m+x^m-1y+..+y^m-1x+y^m)=Z^p иметь решения в целых числах при nm, n3, m2 (m,n,p- простые числа, xy0, m  n  p).

10. Доказать, имеет ли решение уравнение (xⁿ+yⁿ) – (s^m+t^m)=z^p решения в целых числах при , n, m3. xs, y, m,n,p – простые числа, m, x.

11. Доказать, имеет ли решение уравнение xy(x^n-2+ x^n-3y+^…+y^n-3x+y^n-2)=zⁿ в целых числах при n5 ( n-простое число, xy0).

12. Доказать, имеет ли решение уравнение xy(x^n-2+ x^n-3y+^…+y^n-3x+y^n-2)=z^m в целых числах при m, n5 (m, n-простые числa, m n; xy0).

13. Доказать, имеет ли решение уравнение x(x^n-2+ x^n-3y+^…+y^n-3x+y^n-2)=z^m в целых числах при m, n5 (m, n-простые числa, mn; xy0).

14. Доказать, имеет ли решение уравнение y(x^n-2+ x^n-3y+^…+y^n-3x+y^n-2)=z^m в целых числах при m, n5 (m, n-простые числa, mn; xy0).

15.Доказать, может ли уравнение (x+y)ⁿ-xⁿ=zⁿ иметь решения в целых числах при n≥5 (x≠y≠0; n-простое число).

16.Доказать, может ли уравнение (x+y)ⁿ-уⁿ=zⁿ иметь решения в целых числах при n≥5 (x≠y≠0; n-простое число).

17.Доказать, может ли уравнение (x+y)ⁿ-xⁿ=z^m иметь решения в целых числах при m, n≥5 (x≠y≠0; m, n-простые числа, m n).

18.Доказать, может ли уравнение (x+y)ⁿ-уⁿ=z^m иметь решения в целых числах при m, n≥5 (x≠y≠0; m, n-простые числа, m n).

19. Доказать, может ли уравнение (x+y)ⁿ-(xⁿ+yⁿ)=zⁿ иметь решения в целых числах при n≥5 (x≠y≠0; n-простое число).

20. Доказать, может ли уравнение (x+y)ⁿ- (x^m+y^m)=z^p иметь решения в целых числах (x≠y≠0; m≠n≠p; m<n; m,n,p≥3-простые числа).

21. Доказать, существует ли бесконечное множество простых значений чисел n, при которых число 2ⁿ-1составное.

22. Доказать, являются ли числа: (2^.2-1); (2^.2)^.(2^.3)-1;^...(2^.2)^.(2^.3)^..(2^.(n+1))-1 простыми, бесконечно ли их количество.

23. Доказать, является ли простое число Мерсена р особым, если число рⁿ+ p^n-1+ p^n-2 +^…..+ p² + p + 1 также простое при нечётном количестве чисел рⁿ, p^n-1,…., p², p, 1(n≥2).

24. Cуществует ли простое число к>3, для которого число рⁿ + р^n-1 +...+ р² + p + 1(где р=2^к- 1) является простым при нечётном количестве чисел рⁿ,p^n-1,…,p,1(n≥2).

25. Доказать, является ли простое число Мерсена р особым, если число рⁿ+np+1 также простое при простом n.

26. Доказать, может ли уравнение xⁿ+ nxy+yⁿ=zⁿ иметь решения в целых числах (х≠y≠0; n-простое число; n≥3)

27. Доказать, может ли уравнение xⁿ+xⁿyⁿ+yⁿ=zⁿ иметь решения в целых числах (x≠y≠0; n-простое число; n≥3).

28. Доказать, может ли уравнение x^m+x^myⁿ+yⁿ=z^p иметь решения в целых числах (х≠y≠0; m,n,p – простые числа; m,n,p≥3; m≠n≠p).

30. Доказать,что уравнение x^m + yⁿ = z^p не имеет решений в целых числах (m,n,p3; xy0, m≠n≠p).

31. Доказать, что число вида: х^n-1+x^{n -2}y+^…+y^n-2x+y^n-1 не делится на n (n3, xy0, n-простое число.

32. Доказать, может ли простое р делить число вида: хⁿ + myⁿ, где m – данное целое, а x и y – взаимно простые целые числа ( mn; ; n≥3).

33. Доказать, может ли простое р делить число вида: хⁿ + my^p, где m – данное целое, а x и y – взаимно простые целые числа ( mnp ; p, n≥3).

34. Доказать, что уравнение:

(х-y)(x+y)(x+ y )(x+ у

35. Доказать, существует ли бесконечное количество значений простых нечётных чисел m и n, при которых число 2^m + 2ⁿ +1 – простое (mn).

36. Доказать, имеет ли решение в целых числах уравнение xⁿ + n=y^m, где m,n – простые числа xy0, mn.

37. Доказать, является ли число 2 ^{x +xy+…+yx+y} - 1 простым при n 3 (х, число n –простое) при нечётном количестве чисел xⁿ, x^n-1 y,..,y^n-1, x.

Литература

1.                  Карпунин И.И, Подлозный Э.Д. О делимости чисел. Информационная среда среда вуза: Материалы ХIV Международной научно-технической конференции.Госуд.архитектурно-строительная академия. – Иваново. 2007.- С.501-506.

2.                  Карпунин И.И., Подлозный Э.Д. Делимость чисел на основе сравнения по ненулевому рациональному модулю. Тезисы докладов 3-й Международной конференции. – М.: МФТИ, 2008. – С.142-144.

3.                  Карпунин И.И., Подлозный Э.Д. О свойствах сравнения по ненулевому рациональному модулю. Материалы 13 Международной научной конференции имени академика Н.Кравчука. Институт математики НАН Украины. Национальный педагогический университет им Н.Драгоманова. Киев.

4.                  Карпунин И.И., Подлозный Э.Д. О свойствах сравнения по ненлевому рациональному модулю.Тринадцята мiжнародна наукова конференцiя iменi академiка М,Кравчука.Матерiaли конференцii.Киев-2010.- С.139.

5.                  Боревич З.И., Шафаревич Н.Р. Теория чисел. М.: Наука.—1985.-368 с.

6.                  Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел/М.М. Постников М.:Наука – 1980-239с.

Поступила в редакцию 05.10.2011 г.