ISSN 1991-3087

Свидетельство о регистрации СМИ: ПИ № ФС77-24978 от 05.07.2006 г.

ISSN 1991-3087

Подписной индекс №42457

Периодичность - 1 раз в месяц.

Вид обложки

Адрес редакции: 305008, г.Курск, Бурцевский проезд, д.7.

Тел.: 8-910-740-44-28

E-mail: jurnal@jurnal.org

Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100
Яндекс.Метрика

Исследование возможности решения задачи античной математики Квадратура круга от обратного

 

Дениченко Сергей Николаевич,

независимый исследователь.

Дениченко Любовь Васильевна,

независимый исследователь.

 

В данном исследовании показана возможность построение круга, равновеликого по площади квадрату, т. е. решена «кругатура квадрата», что дало возможность решить «квадратуру круга» с точностью на восемь знаков общепринятого числа π, и выразить длину окружности прямым отрезком.

 

Равновеликость квадрата и шестерёнки

 

Около круга радиуса OR (рис. 1), величину которого принимаем за единицу длины, опишем правильную восьмиконечную звезду Q, образованную из двух равных квадратов, один из которых квадрат ABCD.

SABCD = (AB)2 = (2OR)2

Каждая сторона одного квадрата отсечёт от каждой прямоугольной вершины другого квадрата по треугольнику, один из которых треугольник PCP1

Отсюда SQ = SABCD + 4SPCP1

 

Рис. 1.

 

Радиусом CR из каждой прямоугольной вершины фигуры Q опишем дуги на её стороны, а точки пересечения сторон и дуг соединим прямыми. В треугольнике PCP1 такой прямой будет KK1. Пересекаясь с диагональю квадрата, прямая KK1 образует точку R1. В фигуре Q каждый выступающий прямоугольный треугольник, равный треугольнику PCP1 , будет делиться на две равновеликие фигуры, треугольник и трапецию, какими являются треугольник KCK1 и трапеция PKK1P1. Если удалить в фигуре Q все восемь одинаково выступающих прямоугольных треугольников, один из которых треугольник KCK1, то получим фигуру T – «шестерёнку» с выступающими трапециями по площади равной площади квадрата ABCD.

 ST = SQ – 8SKCK1 = (SABCD + 4SPCP1) – 8× ½ SPCP1 =SABCD

 ST = SABCD

 

Рис. 2.

 

На рис.2, который представляет фрагмент рис.1, центр O соединим с точкой K. Получим треугольник OKR1, в котором проведём медиану ON. Радиусом OR1 проведём дугу, которая отсечёт от медианы ON отрезок MN, а от гипотенузы OK – отрезок LK.

Приводим расчёт полученных отрезков:

OR = 1

OC = OR× √2 = 1 × 1,4142135…

RC = OC – OR = 1,4142135… - 1 = 0,4142135…

KK1 = RC × √2 = 0,4142135…× 1,4142135…= 0,5857863…

RR1 = RC – (KK1/2) = 0,4142135…- 0,2928931…= 0,1213204…

OR1 = OR + RR1 = 1 + 0,1213204…= 1,1213204…

OK2 = OR12 + (KK1/2)2 = 1,1213204...2 + 0,2928931…2 = 1,1589416…2

LK = OK – OR1 = 1,1589416… - 1,1213204… = 0,0376212…

ON2 = OR12 + (KK1/4)2 = 1,1213204…2 + 0,1464465…2 = 1,130843…2

MN = ON – OR1 = 1,130843… 1,1213204… = 0,0095226…

Радиус круга равновеликого квадрату ABCD примем условно за ORX.

Находим его арифметическую величину из равенства площадей условного круга с радиусом ORX и квадрата ABCD

π × ORX2 = (2OR)2 3,1415926…× ORX2 = 4

ORX = 1,1283791…

Условную точку RX расположим произвольно на отрезке КК1 и соединим её пунктирной прямой с центром O. Получим условный прямоугольный треугольник OR1RX. Арифметическую величину условного катета R1RX получим из решения

R1RX2 = ORX2 – OR12 = 1,1283791…2 – 1,1213204…2 = 0,1260164…2

Эту же величину мы получим из пропорции составленную из величин отрезков, ранее полученных геометрически.

[(OR+MN) - LK] / (OR+MN) = RR1 / R1RX

R1RX = [(OR+MN) × RR1] / [(OR+MN) – LK] =

=[(1+0,0095226…)×0,1213204…] / [(1+0,0095226...) –0,0376212…] = = 0,1260164…

Арифметическую величину R1RX выразим геометрическим отрезком. Отрезки MN и LK перенесём на диагональ OC радиусами ON и OK. Отрезок MN отложится от точки R1 до точки E, а отрезок LK от точки R1 до точки F. Затем отрезок OR положим на продолжение диагонали OC так, чтобы началом отрезка OR была точка E, а концом – точка O1. Из точки F построим перпендикуляр к OO1, на котором отложим величину отрезка RR1, от точки F до точки F1. Через точки O1 и F1 проведём прямую до пересечения с прямой KK1 в точке R2. Таким образом, условная величина R1RХ выразилась геометрическим отрезком R1R2. Полученную точку R2 соединим прямой с центром O. Получим радиус OR2 круга равновеликого по площади квадрату ABCD

OR22 = OR12 + R1R22 =1,1213204…2+ 0,1260164…2= 1,1283791 2

 

Квадратура круга

 

Если принять квадрат равновеликий по площади кругу с радиусом OR за условный квадрат AXBXCXDX, то получим пропорцию

SOR / SOR2 = SAхBхCхDх / SABCD или

OR / OR2 = ½ AXBX / ½ AB

Которую положим в систему координат (рис. 3), чтобы выразить условную величину ½ AXBX геометрическим отрезком.

 

Рис. 3.

 

Левую часть пропорции положим на ось абсцисс, правую – на ось ординат. Точки M (OR2; ½ AB) и O дают луч, на котором абсциссой OR отразится новая точка M1,проекция которой на ось ординат, геометрически отразит ½ стороны искомого квадрата A1B1C1D1, равновеликого по площади кругу радиуса OR

½ A1B1 = (OR× ½ AB) / OR2

 ½ A1B1 = 1 / 1,1283791…= 0,8862269

 A1B1 = 0,8862269…× 2 = 1,7724538…

 

Длина окружности

 

Нахождение стороны квадрата A1B1C1D1 даёт возможность выразить L OR – длину окружности круга радиуса OR прямым отрезком.

 

Рис. 4.

 

Составим пропорцию

OR / OR2 = L OR / PA1B1C1D1 или OR / OR2 = ¼ L OR / A1B1,

Которую положим в систему координат (рис.4). Левую часть пропорции положим на ось абсцисс, правую – на ось ординат.

Точки M (OR2; A1B1) и O дают луч, на котором абсциссой OR образуется новая точка M1, проекция которой на ось ординат геометрически отразит прямым отрезком ¼ LOR.

¼ LOR = (OR× A1B1) / OR2

¼ LOR = 1,7724538… / 1,1283791…= 1,5707963…

½ LOR = 1,5707963…× 2 = 3,1415926…

LOR = 1,5707963…× 4 = 6,2831852…

В свою очередь, ¼ длины окружности круга, радиуса OR2, тоже выражена прямым отрезком A1B1, что видно на рис.4.

 

Если расчёт задачи вести на большее количество знаков, то результат величины стороны квадрата будет равен 1,7724538968686925718887244115238… , площадь квадрата при этом равна 3,1415928165250138836954861078059…

 

Поступила в редакцию 24.10.2011 г.

2006-2018 © Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов.
Все материалы, размещенные на данном сайте, охраняются авторским правом. При использовании материалов сайта активная ссылка на первоисточник обязательна.