Понятие «Геометрическое место точек» в школьном
обучении
геометрии и его применение
Аббасова
Алмара Алиса кызы,
диссертант Института проблем образования
Азербайджанской Республики,
старший преподаватель кафедры методики
преподавания биологии Азербайджанского государственного педагогического
университета.
Non standart contructive
geometric tasks and their didactical functions (VII-IX forms)
The following problems were
analyzed in the given thesis:
- non-standart constructive
geometric tasks and their didactical functions;
- or construction of figures on
given elements;
- tasks on arranged figures on
the limited surface;
Оформляем и продлеваем медицинские книжки с анализами ckmo.ru
- tasks on arranged figures
applying less amount of means of drafting.
Изучение геометрии в
общеобразовательной школе, по сравнению с другими учебными предметами
естественного цикла, пока не находится на должном уровне. Это можно объяснить
двумя факторами:
1.
Учебно-методическое
содержание учебников геометрии еще не находится на уровне совершенства.
2.
Научно-методическая
подготовка и внедрение в учебный процесс компьютерной технологии пока не
полностью отвечает современным требованиям жизни, предъявляемые к школе.
Однако, продолжается поиск
приемлемого содержания школьного курса геометрии, а также новых форм и методов
его преподавания.
Известно, что традиционно
школьный курс математики, в том числе, курс геометрии, был построен на
аксиоматической основе. В начале семидесятых годов ХХ столетия
теоретико-множественный подход был применен и к школьному курсу математики и в
начале восьмидесятых годов отказались от этой идеи и утвердили не
состоятельность данного подхода для школьного курса математики. Указали веские
причины. Так как теоретико-множественный подход в школьном курсе геометрии
привел, наряду с обновлением содержания, к необходимости пересмотреть
формулировки некоторых понятий, определений и способы доказательства теорем.
Например, традиционное понятие «геометрическое место точек» в новой трактовке назывался
«множеством точек, обладающих данным свойством». Это понятие по сравнению с
традиционной более общее и для ученика представляется абстрактным.
Геометрия – как учебная
дисциплина имеет и свою «наглядность»: это образы геометрических понятий
(фигур), прообразами которых являются объекты реального мира. Поэтому, называя
любое геометрическое понятие, ученик представляет форму и некоторые свойства
данного понятия.
«Геометрическое место точек» как
понятие прикладного характера играет важную роль для успешного изучения
школьного курса геометрии, особенно при решеннии задач. Поэтому, в процессе обучения
нужно систематически развивать конструктивные способности и пространственные
представления учащихся и необходимо уделить особое внимание решению задач на
«Геометрическое место точек».
Это понятие имеет важное значение
не только в обучении, но и на практике на производстве. Так, знания по данному
понятию применяются в техники безопасности на заводах, фабриках и в других промышленных
учреждениях. Например, при постановке защитных сеток определения расстояния
между станками и линиями станков, размещения проходов в цехе и т.п. Такой
научный подход в промышленных предприятиях уменьшает количество
производственных несчастных случаев.
Геометрическое место точек как
понятие конструктивного характера имеет большое образовательное значение, в том
числе, связи геометрии с жизнью. «Это понятие играет роль не только в таких
вопросах, как геометрические задачи на построение. Не меньшее значение оно
имеет в аналитической геометрии, где применение этого вопроса позволяет простым
и доступным способом получить наглядное представление о различных кривых»
«Геометрическое место точек» как
понятие применяется при решении геометрических задач на плоскости и в
пространстве. При разборе соответствующих геометрических задач ученикам
необходимо пространственное воображение или «видение» фигуры, подлежащей
построению. Мы предполагаем, что ознакомление учащихся с этим понятием нужно
начинать с 7 класса, когда некоторые
представления у учащихся имеются еще в 5-6 классах.
Как показывает опыт работы в
школе, у старшеклассников и часто у абитуриентов обнаруживается низкий уровень
пространственных представлений. Они испытывают затруднения при установлении отношений
между геометрическими фигурами на плоскости и в пространстве, при решении
геометрических задач, когда исходной позицией является знание определения или
свойства той или иной геометрической фигуры.
Понятие «Геометрическое место
точек» в курсе геометрии 7-9
классов и ее применение при решении задач не только на вычисление, но и на
построение и доказательство готовит учеников для дальнейшего изучения геометрии
в 10-11 классах, где
изучаются пространственные фигуры.
Задачи на «Геометрическое место
точек» в курсе геометрии 7-9
классов неразрывно связаны с изучением многих новых понятий. Такие задачи, по
сути дела, являются определениями геометрических фигур или их комбинаций, но
они выражены не в виде определения, а в форме описания расположения точек
данной фигуры или данных фигур. Например, «какую фигуру образует геометрическое
место точек, равноудаленных от концов данного отрезка».
Изучая данное понятие, ученики
запоминают, что в состав геометрического места точек входят все точки, имеющие
данное свойство, и только такие точки. Именно «равноудаленность» является
необходимым и достаточным условием для данного понятия и позволяет решать задачи
на геометрические места. Понятие «геометрическое место точек» применяется и как
метод при решении задач.
Задачи на «геометрическое место
точек» распределены по всему курсу геометрии 7-9 классов, но количество их недостаточно.
Кроме того, в школьной практике учителя математики меньше уделяют внимания
таким задачам, объясняя это перегруженностью программы. Такое оправдание не
состоятельно. Так как задачи на «геометрическое место точек» с первого взгляда
кажутся абстрактным и трудно найти «способ» их решения. А в действительности –
эти задачи очень привлекательны по методу решения и нужно найти правильный
подход решения. Именно, в процессе поиска решения вспоминаются необходимые и
заранее известные знания и происходит процесс мышления. Ученик старается
представить в воображении искомую фигуру.
Для формирования, а затем
развития пространственных мышлений учащихся в процессе обучения необходимо
привести в систему задач на «геометрическое место точек» по назначению с
дидактической точки-зрения.
Задачи на «геометрическое место
точек» по сути являются упражнениями с двумя функциями:
1)
ученик
при поиске решения приводит в систему заранее известные знания и их применяет;
2)
в
результате решения ученик получает фигуру с новыми свойствами.
Значит, каждая такая задача
является носителем определения и свойства искомого геометрического понятия.
Мы на основе личного опыта в
школе и опыта работ учителей Г. Баку (шк. 160, 7, 145, 6) попытались определить
преемлемую систему задач на геометрическое место точек, решения которых
содействуют лучшему изучению геометрии в 7-9 классах.
Известно, что задачи на
«геометрическое место точек» рассматриваются на плоскости и в пространстве. В
курсе геометрии 7-9
классов рассматриваются также задачи, в основном, на плоскости. В связи с ознакомлением
учащихся 9 класса с пропедевтикой стереометрии, рассматривается несколько таких
задач в пространстве. В сущности задачи на «геометрическое место точек» в курсе
геометрии 7-9 классов носят, в основном, ознакомительный характер, они
описывают фигуру абстрактно, в воображении ученика, хотя зачастую требуют
изображения фигуры на чертеже. Очевидно, что такие задачи помогают ученикам
глубже изучить теоретический материал по геометрии.
В методической литературе по
геометрии школьного курса задачи на «геометрическое место точек» на плоскости
делятся на две группы 
.
К первой группе относятся задачи
на определение формы и постраение неосновных множеств точек (кроме пяти
основных).
К второй группе относятся задачи
с применением геометрического места точек для геометрических построений. 
В курсе геометрии 7-9 классов
преимущественное место занимают задачи первой группы.
К основным задачам относятся
следующие:
1. Геометрическое место точек,
удаленных на расстояние от данной точки.
2. Геометрическое место точек,
удаленных на равное расстояние от двух данных точек.
3. Геометрическое место точек,
равноудаленных от сторон угла.
4. Геометрическое место точек,
удаленных на расстояние от данной прямой.
5. Геометрическое место точек, из
которых данный отрезок виден под данным углом.
Первая задача – это косвенное
определение окружности.
Вторая задача – это свойство
серединного перпендикуляра к отрезку.
Третье задача – это свойство
биссектринсы данного угла.
Четвертая задача – это свойство
двух параллельных прямых.
Пятая задача относится к
свойством равных вписанных углов.
Комментируя данные задачи,
учитель может подвести детей к очень интересным заключениям. Например, первая
задача означает, что существует на плоскости единственная окружность с данным
радпусом и с заданным центром. В пространстве таких окружностей бесконечно.
Рассмотрим задачу предложенной по
теме «Взаимное расположение двух окружностей (7 класс):
«Постройте точки, находящиеся на
расстоянии 
от данной точки А и на
расстоянии 
от данной точки В. При
каком условии задача: 1) имеет решение; 2) не имеет решения?». 
В данной задаче два требования. Решение
таких задач для семиклассников требует дополнительного объяснения, каждое
требование – отдельная задача:
1) находим геометрическое место
точек, находящихся на расстоянии от данной точки А;
2) находим геометрическое место
точек, находящихся на расстоянии от данной точки В.
Искомые геометрические места
точек – есть пересечение построенных окружностей. Если окружности не имеют
общих точек, то задача не имеет решение. Рассмотренную задачу целесообразно
было бы сформировать следующим образом: «Найти геометрическое место точек,
находящиеся на расстоянии от данной точки А и на
расстоянии от данной точки В.
Задача «Постройте несколько
центров окружностей, проходящих через точки А и В. Какое можно высказать
предположение о множестве центров всех таких окружностей?»
Эту задачу можно выразить в
следующем виде:
«Найти геометрическое место точек
центров всех окружностей, проходящих через точек А и В.»
На основе непосредственного построения
ученики приходят к выводу, что искомое геометрическое место точек есть прямая,
перпендикулярная к отрезку АВ в его середине.
Решение этой задачи опирается на
следующий факт: перпендикуляр опущенный из центра окружности на хорду, делит ее
пополам – что изучается после теоремы о серединном перпендикуляре.
В конце следует отметить, что
задачи на «Геометрическое место точек» служат следующим дидактическим целям:
- ученики знакомятся с косвенными
определениями геометрических понятий;
- закрепляется пройденный
материал;
- одно и то же понятие
наблюдается в различных ситуациях;
- по найденному геометрическому
месту точек определяется форма геометрической фигуры;
- при решении задач ученики
знакомятся с очень важными предложениями, которые является теоремами – что
выводится из решения.
Литература
1.
Марданов
М.Дж. и др. Геометрия 8-7, Баку, 2007.
2.
Марданов
М.Дж. и др. Геометрия 8, Баку, 2008.
3.
Марданов
М.Дж. и др. Геометрия 9, Баку, 2008.
4.
Методика
преподавания геометрии в старших классах средней школы, ред, А.И.Фетисова, М.
«Просвещение», 1967.
5.
З.А.Сконец,
В.А.Жаров, Задачи и теоремы по геометрии, М., Учпедгиз, 1962.
Поступила в редакцию 19.01.2011 г.