Влияние пондермоторной силы на температурные поля и напряжение в слое
Аббасов Зафар Думан оглы,
старший преподаватель Гянджинского государственного университета, Азербайджан.
Введение
Температурные поля и напряжения в электропроводных телах, находящихся в электромагнитном поле, обычно определяют, исходя из удельной мощности джоулева тепла. При этом пондермоторные силы не учитываются [2, 3]. В данной работе рассматривается динамическая задача термоупругости, в которой учитывается влияние пондермоторных сил и связанность полей деформации и температуры. Термоупругие постоянные материала принимаются постоянными.
Пусть на
верхнем слое имеет
место конвективный теплообмен с внешней средой, температура которой равна
начальной температуре
слоя, нижнее основание теплоизолировано.
Примем, также, что основание
свободно от силовой нагрузки, а при
переменный
равен нулю. Полагая
, приходим к решению
системы уравнений [2, 3].
(1)
при начальных
(2)
и граничных
условиях (3)
(31)
Здесь через обозначаются
безразмерные координаты отношения к толщине слоя
, кроме того приняты обозначения:
– отклонение
температуры от начального.
– нормальные напряжения в направление
оси
;
коэффициенты
теплопроводности, температуропроводности и теплоотдача на основание слоя
– коэффициент
линейного расширения;
– модуль упругости и коэффициент Пуассона,
– плотность
материала слоя;
–
пондермоторная сила,
-удельная
мощность джоилова тепла.
и
считаются постоянными величинами;
– параметр связанности.
В
рассматриваемом случае нормальные напряжения и
определяются формулами
(4)
где (5)
Подставляя
значение из
третьего уравнения в (1) получим систему уравнений относительно функций
и
.
,
(6)
Здесь приняты
обозначения ,
- скорость
распространения продольных волн. Решение системы (6) должно удовлетворять
начальные условия.
(7)
и граничные условия (3),
(8)
Решение
задачи (6)-(8) будем искать в виде суммы по степеням коэффициента связности :
(9)
Подставляя (9) в (6) получим:
,
Сравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях , будем иметь следующую систему
начально-краевых задач:
;
(А0)
;
(Б0)
;
(А1)
;
(Б1)
а при и
должны быть решениями следующих
краевых задач:
;
(Ак)
;
(Бк)
В задачах начальные и граничные
условия получены при подстановке (9) в (2), (3) и (31).
Как видно из
системы полученных задач учет связаности температурных и деформацонных полей
появлается в системах задач при .
Полученные
задачи будем решать методом разделения переменных. Решение задачи этим методом будет
(10)
где являются корнями
транецендентного уравнения.
или
(11)
и принято обозначение
;
Подставляя
значение (10) в задаче , отыщем
. Для этого вначале граничные условия приведем
к однородным
Введем
функцию , (12)
Подставляя
(12) в задаче ,
получаем задачу для определения функции
.
;
Решение
задачи представим
в виде
(13)
Для
определения функции подставляем
(13) в уравнение и умножаем уравнение в задаче
на
и проинтегрируем полученное равенство в
отрезке
. Учитывая
ортогональность функций
при этом, получим:
, здесь учтена формула
Общее решение этого уравнения представляется в виде:
(14)
где произвольные
постоянные, которые определяются при помощи начальных условий задачи
:
Подставляя
значения в
(14) результат (13) определяем
(15)
Теперь при
помощи (15) и для значения из (12) получаем решение задачи
:
(16)
где приняты обозначения:
;
Решение
задачи представим
в виде
где
- есть решение
уравнения:
(17)
Подставляя
значение из
(16) в правую часть (17) и удовлетворяя начальному условию
определяем
(18)
где
Подставляя
(18) в (17) получаем решение задачи
(19)
Решение
задачи связано
с задачей определения функции
при помощи формулы
(20)
где является решением
задачи с однородными кривыми условиями:
,
(Д1)
определяется формулой
(21)
Собственные
функции задачи образуют
ортогональную систему
, а собственные числа есть
Поэтому решение
задачи
представим
в виде:
(22)
где определяется
уравнением:
Произведя интегрирование по частям, последнее равенство перепишем следующим образом
Подставляя
(19) в правую часть последнего равенства и проделывая необходимые вычисления,
получаем общее решение, в которое входит сумма Здесь произвольные постоянные
определяются начальными условиями
Следовательно, найденное
подставляя в (22) и находим
значение искомой функции
определяется согласно формулой
Пренебрегая
членами в (9) содержание приближенно можно определить
(24)
Учитывая (5)
в третьем уравнении и используя полученные формулы для переменных и температуры
можно записать приближенную для компонента напряжения :
(25)
а другие компоненты напряжений определяются по формулам (4):
(26)
где
В случае
рассмотрение несвязанной задачи термоупругости имеем формулы (10) и (16). Из
приведенных формул видно, что значения поля перемещений и температуры, а также
компонентов напряжений зависят от джоулева тепла и пондермоторной силы. Исследования
температурных толей и напряжений проводились для слоя из стали Х18Н9Т, характеристики
материала которых принимались равными
вт/м.град;
м2/сек,
,
Н/м2,
м.
Заключение
Полученные
числовые значения показывают, что распределение напряжений и температурных полей
практически совпадают для всех значений . Построены графики для напряжений
и температурного поля
.
Литература
1. Коваленко А.Д. Основы термоупругости. Киев, «Наука думка», 1970.
2. Бурак Я.И., Гачкевич А.Р. О влиянии периодического во времени электромагнитного поля на температурные поля и напряжения в электропроводном слое // Прикладная механика, №7, 2004.
3. Родигин Н.М. Индукционный нагрев стальных изделий токами нормальной частоты. М., Металлургия, 1996.
Поступила в редакцию 28.04.2011 г.