Статистика технологических флуктуаций
Безуглов Александр Михайлович,
доктор технических наук, профессор,
Безуглов Владимир Александрович,
соискатель.
Кафедра высшей математики, Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт) им. Платова.
В реальном термодинамическом процессе флуктуации могут испытывать как координаты процесса, так и термодинамические потенциалы и целевые функции. Для описания термодинамического процесса (или состояния) достаточно выбрать ограниченное число термодинамических координат и соответствующих им потенциалов, остальные параметры являются функциями этих независимых аргументов [1]. Статистическое описание независимых переменных производиться через их математическое ожидание и дисперсию. Все прочие характеристики, являясь в общем случае нелинейными функциями, зависят как от средних значений координат, так и от средних значений их флуктуаций. Среднее значение некоторой статистической функции , распределенное по закону , определяется выражением [2]:
Поскольку заранее не известна, рассмотрим, в качестве примера, два крайних случая.Предполагая распределенной равномерно на , а разложимой в ряд Тейлора в окрестности получим:
Таким образом, если положительно определена, то флуктуации () эффективно увеличивают , если для и уменьшают, если . Аналогичные поправки связаны с высшими производными четных порядков. Если - отрицательна, то для сохраняется те же утверждения, а для модуля справедливы противоположные. Полученные результаты универсальны и, в известной степени, не зависят от способа усреднения. Вычисления в случае нормального распределения приводят к аналогичным результатам.
Следовательно, можно утверждать, что дисперсия – D = – флуктуирующего физического параметра определяет в первом приближении смещение его функции от ее нулевого приближения . Физический смысл полученных выражений состоит в том, что нелинейные процессы реагируют изменением своих показателей на наличие флуктуаций. Статистический подход, к оценке влияния флуктуаций позволяет сделать некоторые общие выводы, имеющие отношение к произвольным термодинамическим процессам, идущим с поглощением тепла. Если целевая функция имеет область насыщения, то, как известно, условия означает убывающую функцию, с графиком обращенным выпуклостью вниз, а – означает возрастающую функцию с выпуклостью, обращенной вверх (линии 1 и 2 на рис. 1).
Рис. 1. Влияние флуктуаций на достижение целевой функцией оптимального значения.
Для таких функций всегда будет справедливо утверждение: наличие флуктуаций негативно сказывается на показателе и, следовательно, требуются дополнительные затраты на достижение заданного результата (см. линии , , рис.1).
Для технологического процесса это означает повышение, прежде всего, энергозатрат (и, следовательно, снижение кпд). Таким образом важнейшим следствием присутствия флуктуаций параметров в технологическом процессе является появление понижающего его множителя в выражении для кпд (по некоторому актуальному параметру).
Наиболее выгодным с экономической точки зрения оказывается процесс без флуктуаций, для повышения эффективности производства необходимо принимать меры к снижению интенсивности флуктуаций технологических параметров.
Если функция такова, что она возрастает, не имея области насыщения, то при наличие флуктуации приводит к ускоренному и неограниченному росту. Однозначно можно утверждать, что таких флуктуаций не существует в природе, если растет с ростом энергопотребления: существование их противоречило бы закону сохранения энергии, флуктуации приводили бы к энергетическим эффектам без энергопотребления, например, плавлению при .
Литература
1. Безуглов А.М., Кураков Ю.И. Математическое моделирование технологических процессов. Северо-Кавказкий научный центр высшей школы: Ростов-на-Дону 2002.-С.104.
2. Посыльный В.Я., Безуглов А.М. Влияние неоднородностей теплового поля на качество термоантрацита // Химия твердого топлива, 1986.-№ 1.-С. 103-104.
Поступила в редакцию 18.02.2013 г.