ISSN 1991-3087

Свидетельство о регистрации СМИ: ПИ № ФС77-24978 от 05.07.2006 г.

ISSN 1991-3087

Подписной индекс №42457

Периодичность - 1 раз в месяц.

Вид обложки

Адрес редакции: 305008, г.Курск, Бурцевский проезд, д.7.

Тел.: 8-910-740-44-28

E-mail: jurnal@jurnal.org

Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100
Яндекс.Метрика

Описание синхронного генератора в обобщенных параметрах

 

Вилесов Дмитрий Васильевич,

доктор технических наук, профессор,

Бондаренко Александр Евгеньевич,

кандидат технических наук.

Санкт-Петербургский государственный морской технический университет.

 

Под обобщенными параметрами трехфазного синхронного генератора (СГ), в теории синхронной машины в осях d-q, принято понимать: изображающий вектор тока статора, изображающий вектор напряжения статора, изображающий вектор тока возбуждения, изображающие вектора потокосцепления и их модули. Добавим к этому мгновенную мощность трехфазной системы, мгновенную реактивную мощность [2], мгновенные углы между изображающими векторами и осями d-q, В данной статье термин реактивная, мгновенная мощность определяет мгновенную электромагнитную энергию, запасенную трехфазным потребителем, с коэффициентом пропорциональности равным удвоенной угловой частоте вращения. Иногда, достаточно редко, изображающий вектор называется вектором пространственной волны тока, напряжения, э.д.с, потокосцепления и т.д. Все, перечисленные выше параметры, являются мгновенными величинами в функции времени.

Необходимость создания математической модели СГ в обобщенных параметрах обусловлена тем, что модули изображающих векторов тока Im и напряжения Um, мгновенная мощность p(t), мгновенная реактивная мощность q(t) достаточно просто схемотехнически определяются на практике, тем самым легко проверяется соответствие принятой модели реальному событию.

Рассмотрим принятую систему координат (рис. 1). В качестве неподвижных на плоскости координат возьмем симметричные фазные оси А, В. С, сдвинутые относительно друг друга на 120 эл. градусов, в центре пересечения этих осей находиться ось ротора СГ, относительно которой ротор вращается против часовой стрелки с переменной скоростью ω(t).

 

Рис. 1. Принятая система координат и направления осей.

 

Вместе с ротором вращаются оси d и q, закрепленные на роторе. Между осью А и осью d отсчитывается угол γ. Также с ротором, угловая скорость вращения которого), в общем случае, не является постоянной, вращаются изображающие вектора тока Im и напряжения Um, которые меняют положение относительно осей d и q за счет изменения во времени углов θ, φ, β:

θ(t)мгновенный угол между изображающим вектором напряжения и поперечной осью ротора, отчитываемый от вектора напряжения в сторону поперечной оси, так называемый внутренний угол машины;

φ(t) мгновенный угол между изображающими векторами тока и напряжения, так называемый угол нагрузки, отчитываемый от вектора тока в сторону вектора напряжения;

β(t) – мгновенный угол между продольной осью и изображающим вектором тока отчитываемый от продольной оси в сторону изображающего вектора тока.

Отметим, что изображающие вектора тока и напряжения, вращаясь вместе с ротором, не будучи «жестко» связанны с осями q и d, в каждый текущий момент времени определяют фазные токи и напряжения следующим образом:

ua = Um cos(γ + β + φ),

ub = Um cos(γ + β + φ - 120),

 uc = Um cos(γ + β + φ + 120),                                                                                 (1)

ia = Im cos(γ + β ),

ib = Im cos(γ + β - 120),

ic = Im cos(γ + β + 120).

Также примем во внимание, что для трехфазной симметричной системы всегда действуют выражения:

 ia + ib + ic = ua + ub + uc = Ψa + Ψb + Ψc = 0                                                          (2)

Из теории электрических машин известно, что изображающий вектор – это сумма векторов фазных статорных проекций, и он может быть записан как:

Vm= (2/3)( va + vb exp120j + vc exp240j); (3)

А модуль изображающего вектора может быть определен как:

Vm=(Vd+ Vq)0,5 = (( v2a + v2b +v2c )2/3)0,5                                                                                        (4)

где: Vd ,Vq - проекции соответствующих изображающих векторов на оси d и q.

В соответствии с (3) изображающие вектора для трехфазного тока, напряжения, потокосцепления можно записать как:

Im = Im expj(γ + β),

Um = Um expj(γ + β + φ),

p(-Ψm ) = Um expj(γ + β + φ) + rIm expj(γ + β)                                                        (5)

где r активное сопротивление статорной обмотки, Ψm изображающий вектор потокосцепления статора, p = d / dtоператор дифференцирования.

Чтобы определить производную по времени от изображающего вектора потокосцепления определим для начала выражения для потокосцеплений фазных контуров и контура возбуждения без учета успокоительных контуров:

Ψa = La ia + Mab ib + Mac ic + Maf if ,

Ψb = Lb ib + Mba ia + Mbc ic + Mbf if ,                                                             (6)

Ψc = Lc ic + Mca ia + Mcb ib + Mcf if ,

Ψf = Lf if + Maf ia + Mbf ib + Mcf ic .

Коэффициенты взаимоиндукции фазных обмоток между собой и взаимоиндукции фазных обмоток с обмоткой возбуждения, определяются следующим образом:

Mab = Mba = Mo + Mmcos (2γ – 120),

Mbc = Mcb = Mo + Mm cos 2γ ,

Mac = Mca = Mo + Mm cos (2γ + 120),

Maf = - Mf cos γ,

Mbf = - Mf cos (γ – 120),

Mcf = - Mf cos (γ + 120),

здесь: Moсреднее значение коэффициента взаимоиндукции фазных обмоток, Mm максимальный значение коэффициента взаимоиндукции фазных обмоток, Mfмаксимальное значение коэффициента взаимоиндукции фазной обмотки и обмотки возбуждения при совпадении магнитных осей.

Коэффициенты самоиндукции фаз статора La , Lb , Lc определяются следующим образом:

 La = Lo + Lm cos 2γ,

 Lb = Lo + Lm cos (2γ + 120),

 Lc = Lo + Lm cos (2γ - 120),

гдe: Loсреднее значение коэффициента самоиндукции фазных обмоток статора, Lmмаксимальный коэффициент самоиндукции фазных обмоток статора.

Приведенные выше коэффициенты взаимоиндукции и самоиндукции подставим в (6) и после несложных тригонометрических преобразований полученные выражения уже подставим в (3), что позволит определить выражение для изображающего вектора потокосцепления синхронной машины [1]:

Ψm = Im ((Lo – Mo )exp(j(γ + β)) + 1,5Mm expj(γ - β)) – Mf if expjγ,

или

Ψm = (Lo – Mo) Im - Mf if +1,5Mm Im exp(-j2β),

Ψf = Lf if - 1,5 Mf Im cos β

где if = if exp- изображающий вектор тока возбуждения.

Теперь возьмем производную от изображающего вектора потокосцепления и подставим в (5), в результате получим комплексное уравнение синхронного генератора в обобщенных величинах:

Um expj(γ + β + φ) + rIm expj(γ + β) = Mf if γ 1expj(γ +90) + Mf if1expjγ - I1m ((Lo – Mo)exp(j(γ +β)) +1,5Mm expj(γ - β)) - Im((Lo – Mo)(γ 1+ β 1)expj(γ + +β+90)+1,5Mm 1- β 1)expj(γ – β + 90))                                                                               (7)

где: γ1производная по времени от угла γ1 = ω, I1m производная по времени от модуля изображающего вектора тока, β1- производная угла β по времени, if 1- производная по времени тока возбуждения синхронной машины.

Выражение (7) представляет собою общее, комплексное уравнение СГ, записанное в физических параметрах. Это выражение не является переходом от трехфазной машины к двухфазной, но позволяет перейти к известным уравнениям Горева-Парка. представляющим собою проекцию выражения (7) на оси d-q. . Для получения уравнений Горева-Парка, исходное уравнение (7) спроецируем на оси d и q, для чего сократим левую и правую части на exp(jγ):

Umexpj(β+φ)+ rImexp(jβ) = Mf if ωexp(j 90) + Mf if1 - I1m((Lo – Mo)exp(jβ) + 1,5 Mmexpj(- β))- Im((Lo – Mo)(ω + β 1)exp[j(β+90))+1,5 Mm(ω - β 1 )expj(90-β))

Теперь учтем некоторые соотношения при определении действительной и мнимой части полученного уравнения:

Um sin(β + φ) = Uq,,

Um cos(β + φ) = Ud,

Im sinβ = Iq ,

Im cosβ = Id ;

(Lo – Mo) +1,5 Mm = Ld,

(Lo – Mo) - 1,5 Mm = Lq ,

где: Ld, Lq - реактивности по продольной и поперечной оси.

Используя эти соотношения, получим:

Um cos(β+φ) = Mf if1 - rImcosβ - I1m((Lo – Mo)cosβ + 1,5 Mm cos β) - -Im ((Lo – Mo)(ω + β 1)sin(-β)) + 1,5Mm(ω - β 1)sinβ)

или после преобразований

Ud = -rId + Mf if1 – Id1 Ld + ω Lq Iq

Um sin(β+φ) = Mf if ω - rIm sinβ - I1m((LoMo)sinβ - 1,5Mm sinβ) - Im ((Lo – Mo)(ω + β 1)cosβ + 1,5Mm(ω - β 1 ) cosβ )

или после преобразований

Uq = Mf if ω - rIq - Id Ld ω– Iq1 Lq

Очевидно, что уравнения Горева-Парка являются частным случаем общего, комплексного уравнения синхронного генератора.

Теперь спроецируем комплексное уравнение СГ (7) на направление вектора трехфазного тока, для этого его левую и правую часть сократим на

expj(γ + β),

Um expjφ + rIm = Mf if ωexpj(90 -β) + Mf if1exp(- j β) - I1m ((Lo – Mo) + +1,5Mmexpj(-2β))- Im((Lo–Mo)(ω + β1)expj90 +1,5Mm(ω - β 1)expj(90–2β))

Выделим мнимую и действительную часть полученного выражения:

Umcosφ = Mf if ω sinβ+Mf if1сosβ – rIm – I1m ((Lo–Mo) +1,5Mmcos2β) - 1,5Mm Im (ω - β 1)sin2β

Umsinφ = Mf if ω cosβ – Mf if1sinβ – Im (Lo–Mo)( ω + β1) +1,5Mm Im(ω - β1) cos2β + 1,5Mm I1m sin2β                                                                                                              (8)

Преобразуем первое уравнение, используя известные в теории машин соотношения, приведенные выше при определении действительной и мнимой части выражения (7). В результате получим следующее:

Umcosφ = Mf if ω sinβ+Mf if1сosβ – rIm – 0,5 I1m (Lq sin2β +Ld cos2β) - 0,5 Im (Ld –Lq) (ω - β 1)sin2β                                                                                                                             (9)

Умножим полученное уравнение на величину модуля изображающего вектора тока, затем преобразуем и получим выражение для мгновенной трехфазной мощности, потребляемой сетью:

2/3 p(t) = Um Im cosφ = Mf if ω Im sinβ +Mf if1 Im сosβ – rI2m - 0,5ω I2m (Ld – Lq) sin2β - 0,5( Ld (I2m сos2β)1 + Lq (I2m sin2β )1 )

или

2/3 p(t) = Ud Id + Uq Iq= Mf if ω Iq +Mf if1 Id – r(I2d + I2q ) - ω Iq Id (Ld –Lq) - 0,5 (Ld(I2d )1 + Lq(I2q )1)                                                                                                                                                                      (10)

Очевидно, что электромагнитная энергия взаимодействия полей ротора и статора (первые два слагаемых в (9)) расходуется на нагрев обмоток статора (третье слагаемое), на пополнение запасенной электромагнитной энергии в статорных обмотках (пятое слагаемое), на потребление трехфазной сетью.

Теперь повторим похожую процедуру для второго уравнения в (8).

Um sinφ = Mf if ω cosβ – Mf if1sinβ + 0,5(Ld Lq) I1m sin2β  - ω Im(Lq sin2β + Ld cos2β) - β1 Im(Ld sin2β + Lq cos2β).                                                                                                           (11)

Мгновенную трехфазную, реактивную мощность определим следующим образом [2]:

2/3 q(t) = Uq Id - Ud Iq

2/3 q(t) = Um Im sinφ = Mf if ω Im cosβ – Mf if1 Im sinβ + 0,5(Ld Lq) Im I1m sin2β - ω I2m(Lq sin2β + Ld cos2β) - β1 I2m(Ld sin2β + Lq cos2β),

или после преобразований:

2/3 q(t) =Mf if ω Id Mf if1 Iq + Ld I1d Iq – Lq I1q Id - ω (Lq I2q + Ld I2d )                    (12)

Мгновенная реактивная мощность, как видно из выражения (12), это результат электромагнитного взаимодействия ротора и статора (первые два слагаемых), изменение энергии взаимодействия статорных обмоток (третье и четвертое слагаемое), мгновенная электромагнитная энергия, накопленная в статорных обмотках, умноженная на двойную угловую частоту (пятое слагаемое).

Запишем теперь уравнения (9), (10), (11), (12) для установившегося режима:

Um cosφ = Mf if ω sinβ– rIm - 1,5Mm Im ω sin2β,

или

Um cosφ = Mf if ω sinβ – rIm – 0,5 Im ω (Ld –Lq) sin2β,

2/3 p(t) = Mf if ω Im sinβ – rI2m - 0,5ω I2m (Ld – Lq) sin2β

или

2/3 p(t)= Mf if ω Iq – r(I2d + I2q ) - ω Iq Id (Ld –Lq),

Um sinφ = Mf if ω cosβ – Im (Lo–Mo)ω +1,5Mm Im ω cos2β,

Um sinφ = Mf if ω cosβ - ω Im(Lq sin2β + Ld cos2β).

2/3 q(t) =Mf if ω Id - ω (Lq I2q + Ld I2d )                                                                    (13)

Определим теперь запасенную энергию в контурах СГ, которая определяется как половинная сумма произведений соответствующих мгновенных потокосцеплений на соответствующие токи

Wэ = 0,5 (Ψa ia + Ψb ib+ Ψc ic + Ψf if )

Преобразуем это выражение, используя (6) и (1) в следующее:

Wэ = 0,5 (1,5 I2m ((Lo-Mo) + 1,5Mm cos2β) - 3 Mf if Im cosβ + Lf i2f ),

Wэ = 1,5(0,5Lq I2m sin2β + 0,5Ld I2m cos2β) – 1,5Mf if Id + 0,5Lf i2f ,

Wэ = 1,5 (0,5Lq I2q + 0,5Ld I2d ) -1,5 Mf if Id + 0,5 Lf i2f (14)

Определим теперь электромагнитный момент как производную от энергии магнитных полей по углу поворота ротора

Mэ = d(Wэ)/d γ

Произведем дифференцирование по углу поворота ротора γ, учитывая, что d( I2m )/dγ = 0, d( Lf i2f )/dγ = 0,

Mэ = d( Wэ )/dγ = 1,5 Mf if Im sinβ – 2,25Mm I2m sin2β

Mэ = d( Wэ )/dγ = 1,5 Mf if Im sinβ – 0,75(Lq + Ld ) I2m sin2β                                  (15)

Напряжение обмотки возбуждения определим следующим образом:

uf = Lf i1f -1.5 M f (I m cosβ)1 + rf if (16)

Выражения (9), (11), (15), (16) являются уравнениями СГ в обобщенных параметрах.

Предложенное комплексное уравнение синхронной машины в обобщенных величинах (7) не представляет собою переход от трехфазной машины к двухфазной. В частном случае это выражение позволяет перейти к известным уравнениям Горева-Парка. Для перехода к фазным величинам достаточно спроецировать изображающие вектора трехфазного напряжения и тока на фазные оси (1). Поскольку характер изменения модуля изображающего вектора напряжения определяет форму кривых мгновенных фазных напряжений [3], то имеет смысл при расчетах цепей с нелинейной нагрузкой определять модули изображающих векторов тока Im и напряжения Um,, мгновенные углы θ, φ, β, для последующего определения фазных напряжений uabc и токов iabc\. c помощью (1).

 

Литература

 

1.                  Бондаренко А.Е. Регулирование судовых генераторных агрегатов по мгновенным значениям параметров режимов. Дисс. на соискание ученой степени к.т.н. 186 стр., СПбГМТУ, Санкт-Петербург 1992г.

2.                  Бондаренко А.Е., Вилесов Д.В. Мгновенная активная, реактивная, полная мощность, эффективность энергопотребления в трехфазных сетях. Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов. N10(64), октябрь 2011, стр. 94-98, Курск.

3.                  Бондаренко А.Е., Вилесов Д.В. Оценка качества трехфазного напряжения по модулю изображающего вектора. Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов. N11(65), ноябрь 2011, стр. 100-188, Курск.

 

Поступила в редакцию 13.11.2013 г.

2006-2018 © Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов.
Все материалы, размещенные на данном сайте, охраняются авторским правом. При использовании материалов сайта активная ссылка на первоисточник обязательна.