ISSN 1991-3087

—видетельство о регистрации —ћ»: ѕ» є ‘—77-24978 от 05.07.2006 г.

ISSN 1991-3087

ѕодписной индекс є42457

ѕериодичность - 1 раз в мес€ц.

¬ид обложки

јдрес редакции: 305008, г. урск, Ѕурцевский проезд, д.7.

“ел.: 8-910-740-44-28

E-mail: jurnal@jurnal.org

–ейтинг@Mail.ru Rambler's Top100
яндекс.ћетрика

ѕоследн€€ теорема ‘ерма Ц решение в общем виде

 

—ергин √еннадий »ванович,

врачЦстоматолог.

 

“еорема

”равнение xn+yn=zn при n>2 не имеет решений в рациональных числах, xyz≠0.

 

¬ариант є1 (через пропорцию).

ѕусть: x+y=z , x2+y2=z2 , xn-1+yn-1=zn-1, xn+yn=zn ,

y=z Цx, y2=z2Цx2, yn-1= zn-1Цxn-1, yn=znЦxn.

“огда:

јвтомобильна€ акустика

¬ продаже акустика Bose и другие марки. —делай свой выбор

km-audio.ru

ѕицца и суши в ћечниково

ѕиццы, салаты, напитки

pizzasushishop.ru

x2 /x=x, xn /xn-1=x;

ѕропорциональное уравнение є1

x2 /x=xn /xn-1 x=xn /xn-1

xxn-1=xn

xn=xn

x=x

z2/z=z, zn/ zn-1=z

ѕропорциональное уравнение є2

z2/z = zn/zn-1 z=zn /zn-1

zzn-1=zn

zn=zn

z=z

 

пропорциональное уравнение є3

ƒоказательство

(z2 Цx2) /(zЦx)=(zn Цxn) /(zn-1 Цxn-1) → (z+x)(z Цx) /(z Цx)=(zn Цxn) /(zn-1 Цxn-1) →

(z+x)=(zn Цxn) /(zn-1 Цxn-1) → (z+x)(zn-1 Цxn-1)=zn Цxn

zn Цzxn-1+zn-1xЦxn = zn Цxn → znЦzxn-1+zn-1xЦxnЦzn+xn=0 → Цzxn-1+zn-1x=0 →

zn-1x=zxn-1 → zn-1x/ zx=zxn-1/ zx → zn-2=xn-2 → z=x → zn=xn

znЦxn=0 → yn=znЦxn

yn=0 →

y=0 →

xyz=0

противоречит условию

проверочный вариант дл€ n = 9

(z2Цx2) /(zЦx)=(z9 Цx9) /(z8Цx8)(z+x)(z Цx) /(z Цx)=(z9Цx9) /(z8Цx8)

(z+x)=(z9Цx9) /(z8Цx8)(z+x)(z8Цx8) = z9Цx9z9Цzx8+z8xЦx9=z9Цx9

z9Цzx8+z8xЦx9Цz9+x9=0Цzx8+z8x=0z8x=zx8z8x/zx = zx8/zx

z7=x7z=xz9=x9z9Цx9=0y9= z9Цx9y9=0y=0

xyz=0

противоречит условию

 

¬ариант є2 (через бином Ќьютона).

ѕусть:

xn+yn=zn

x2+y2=z2

x+y=z

yn= znЦxn

y2= z2Цx2

y= zЦx

xa0=x1

xa1=x2

xan-1=xn

yb0=y1

yb1=y2

ybn-1=yn

zc0=z1

zc1=z2

zcn-1=zn

“огда:

a=x2 /x

a=x

xan-1=xn

c=z2/z

c=z

zcn-1=zn

b=y2 /y

b=(z2 Цx2) /(z Цx)b=(z+x)(z Цx) /(z Цx)b=(z+x)

y(z+x)n-1=yn(z Цx)(z+x)n-1=yn

†(z Цx)(z+x) n-1=zn Цxn

при n=1

(zЦx)(z+x)n-1=znЦxn(z Цx)(z+x)0=z Цx zЦx=z Цx

при n=2

(z Цx)(z+x)n-1=zn Цxn(z Цx)(z+x) 1=z2Цx2z2Цx2=z2Цx2

при n=3 (доказательство)

(z Цx)(z+x)n-1=znЦxn(z Цx)(z+x)2=z3Цx3

(z Цx)(z+x)2 = (z Цx)( z2+zx+x2)(z+x)2=(z2+zx+x2)

z2+2zx+x2=z2+zx+x2zx=0

≈сли y>0, то z=y , x=0, xyz=0противоречит условию.

при n=4 (доказательство)

(zЦx)(z+x)n-1=znЦxn(zЦx)(z+x)3=z4Цx4

(z Цx)(z3+3z2x+3zx2+x3) =(zЦx)(z3+z2x+zx2+x3)

z3+3z2x+3zx2+x3=z3+z2x+zx2+x33z2x+3zx2=z2x+zx2 2z2x+2zx2=0

2zx(z+x)=0zx=0/2(z+x)zx=0

≈сли y>0, то z=y, x=0, xyz=0противоречит условию.

при n=5 (доказательство)

(z Цx)(z+x)n-1=znЦxn(zЦx)(z+x)4=z5Цx5

(z Цx)(z4+4z3x+6 z2x2+4zx3+x4)=(zЦx)(z4+z3x+z2x2+zx3+x4)

z4+4z3x+6 z2x2+4zx3+ x4=z4+z3x+z2x2+zx3+x4

†4z3x+6z2x2+4zx3 = z3x+z2x2+ zx33z3x+5 z2x2+3zx3=0

3zx(z2+2zx+x2)=03zx(z+x)2=0zx=0/3(z+x)2zx=0

≈сли y>0, то z=y, x=0, xyz=0противоречит условию.

при n>2 (доказательство)

(z Цx)(z+x)n-1=znЦxn

(nЦ2)zx((z+x)n-1Ц (zn Цxn)/(zЦx)) =0

zx=0/(nЦ2)((z+x)n-1Ц(zn Цxn)/(zЦx))

zx=0

≈сли y>0, то z=y, x=0.

xyz=0 → противоречит условию.

 

“ак как последн€€ теорема ‘ерма €вл€етс€ частным случаем из, вариантов є1 и є2, в альтернативу, как следствие из вышеизложенного, представл€ю частный случай дл€ теоремы ѕифагора:

”равнение x2+y2=z2 представленное в виде:

‘ормулає1 (k(y2Ц1)/2)2+(ky)2=(k((y2Ц1)/2+1))2

при k=натуральному числу и при y=нечетному натуральному числу >1 пред≠ставл€ет собой все существующие решени€ исключительно в натуральных числах, xyz=натуральному числу.

ѕример є1: k=8 y=13

(8*(132Ц1)/2)2+(8*13)2=(8*((132Ц1)/2+1))2 → 6722+1042=6802

¬озникает последний вопрос: √де должен находитьс€ yn дл€ сохранени€ своей степенной зависимости от z и x? yn имеет строго квадратную зависимость от z и x, и ответ дает уравнение вида:

x2+yn=z2

ѕример є2: x=4 z=5

42+91 =52 122+92=152 362+93=452 1082+94=1352

(4*3n-2)2+9n-1=(5*3n-2)2(4*3n-1)2+9n=(5*3n-1)2

ѕример є3: n=5

(4*34)2+95=(5*34)2 → 3242+ 95= 4052

и соответственно в общем виде

‘ормулає2 (k (y2Ц1)/2(√(ky))n-2)2+(ky)n =(k((y2Ц1)/2+1)(√(ky))n-2)2

ѕример є4: n=3 k=2 y=5

†(2(52Ц1)/2 √10)2+103=(2(52Ц1)/2+1) √10)2 → 242*10 +10 3=262*10

ѕример є5: n=4 k=3 y=7

(3 (72Ц1)/2 (√3*7) 2) 2+(3*7)4=((3(72Ц1)/2+1) (√3*7)2)2

15122 +214=15752

 

ѕрактическое значение имеют формулы є1 и є2, так как без особых арифметических усилий решаютс€ уравнени€ x2+y2=z2 и x2+yn=z2, при этом коэффициент k может иметь любые положительные значени€, в том числе и иррациональные.

 

ѕоступила в редакцию 20.08.2014 г.

2006-2018 © ∆урнал научных публикаций аспирантов и докторантов.
¬се материалы, размещенные на данном сайте, охран€ютс€ авторским правом. ѕри использовании материалов сайта активна€ ссылка на первоисточник об€зательна.