Об оценке комплексных чисел в сравнении с натуральными

Карпунин Иван Иванович,

доктор технических наук, профессор, профессор кафедры Белорусского национального технического университета.

Комплексные числа вида с=а + b и d= а - b, где а и b - действительные числа, удовлетворяющие условию i² = -1, то есть I = , широко применяются в физике и математике. Они входят в систему гиперкомплексных чисел ранга 2 [1, 2].

Известно, что в настоящее время при умножении чисел со знаками: (+)^.(+) = +; (-)^.(-) = + ; (+)^, (-) = - (случай I). При таком умножении чисел со знаками получается истинный результат. В результате получается после такого умножения (случай 1) множество чисел, представляющее систему I. Однако при умножении чисел по случаю I характерно появление комплексных чисел, которые не подлежат оценке в сравнении с обычными натуральными числами. При этом имеется исключение, состоящее в том, что ()² = - 1. При этом  -1, аналогично тому, что ()² = +1 и = +1.

Что получится, если принять при умножении чисел со знаками что: (+)^.(+) = +; (-)^.(-) = - . Тогда (+)^, (-) = лишено всякого смысла. Как следует поступить для получения результата при умножении чисел со знаками по случаю, а точнее какую поправку следует прибавить взамен умножения чисел со знаками (+)^,(-)? Итак, имеем (а-b)² = a² – b² +(2 b²- 2ab). Это означает, что взамен умножения чисел со знаками + на – вводится соответствующая поправка для приведения полученного результата при умножении чисел a и b с различными знаками в соответствии, если указанные числа со знаками перемножать по случаю I. Аналогично следует поступить при умножении чисел со знаками (+) и (-) в выражении (a+b-c-d+f-u)^. (a-b+c+d-f-c-k) и т.д., введя соответствующую поправку для получения истинного результата, если их перемножать по случаю, когда умножение чисел со знаками (+) на (-) лишено смысла. Для этого необходимо вышеуказанные числа со знаками перемножать по известному случаю I и полученные результаты оценить, добавив соответствующую поправку.

Однако, с целью избегнуть образования комплексных чисел (для их оценки) условно примем перемножение чисел иначе: (+)^.(+) = +; (-)^.(-) = - ; (+)^, (-) = - (случай II). В таком случае не всегда получается истинный результат. Чтобы результат был истинным, прибавляется соответствующая поправка, которая определяется без затруднений.

Всегда, перемножая числа с разными знаками, для получения истинного значения по принятому условию перемножения знаков (1) и предлагаемому (II) можно добиться соответствия получаемых результатов, прибавив соответствующую поправку.

Например, (а-b)² = a² – 2аb – b² (cлучай 2), (а-b)² = a² – 2аb – b²+(2b²) (cлучай I). Аналогично перемножаются и другие числа, например: a-b+c-k-p)^.(r+s-k+f) и т.д. с вводом поправок для достижения соответствия полученных результатов.

Теперь коснёмся оценки значений комплексных чисел с натуральными целыми числами. Согласно условиям перемножения знаков чисел (случаи I и II) имеем: a +b= a+b (по случаю I и II); a + b= а-b и a + b= а-b ( по случаю II)

Cледовательно, в результате получим: (а - b) + (b + b) = a + b; (a –b) + (b-b) = a - b. То есть: а – b = (a - b)-(b-b); а – b = (a - b)-(b + b); a-b = a-b. Где +b= - b и -b= - b.

Это означает, что чем больше число а, тем больше числа a + b и a - bи чем больше число b, тем меньше указанные числа, то есть вводится поправка для соответствия полученных результатов и оценки величины комплексных чисел и их мнимой части в сравнении с натуральными числами. При этом в случае умножения чисел по случаю I получаем систему чисел I, которая отличается от системы чисел II, полученной при умножении чисел со знаками по случаю II добавлением поправки или множителя к числам, находящихся в системах I и II для их оценки [5].

Известно [1], что Куммер поставил проблему, заключающуюся в разложении на простые сомножители чисел вида a₀ +a₁ +а₂ ² +…+а_р-1 ^р-1 , где а₀ , а₁,…, а _р-1 - целые, то есть проблему разложения круговых целых. Эта проблема решаема без затруднений, если применить предложенный нами способ приведения комплексных чисел к новой системе [5], a затем уже в таком случае теорема Ферма доказывается без всяких осложнений, так как соблюдается единственность разложения уравнения хⁿ + yⁿ = zⁿ ( n 3), но этого можно и не делать, если учесть предложенное нами сравнение по ненулевому рациональному модулю [6]. Это означает, что при делении числителя числа Бернулли В_m на число р, где р- простое нечетное число и принимает меньшие значения s и t (р выбрано большим), одно из которых (s) иррегулярное число (делит числители чисел Бернулли) , а другое – регулярное число t (не делит числители чисел Бернулли) В результате получается дробное или целое число f большее 1. Это означает, что В_m≡0(mod В_m:Р)≡0(mod f), когда р принимает значения s и t. Если же f=1, то имеем частный случай, когда р делится на 1 и само себя.

На основании полученных результатов и литературных источников для доказательства предлагается следующее.

1.                  Доказать, имеет или не имеет решений в целых числах уравнение xⁿ + yⁿ + nxy = z^m при xy0, m,n5, m  n – простые нечётные числа.

2. Доказать, имеет или не имеет решений в целых числах уравнение xⁿ + yⁿ + mxy = z^m при xy0, m, n5, m n – простые нечётные числа.

3.                  Доказать, имеет или не имеет решений в целых числах уравнение xⁿ + yⁿ + nxy = zⁿ при xy0, n5, n – простое нечётное число.

4.                  Доказать, имеет или не имеет решений в целых числах уравнение xⁿ + yⁿ + x + y = zⁿ при xy0, n5, n – простое нечётное число.

5.                   Доказать, имеет или не имеет решений в целых числах уравнение x^m + yⁿ + nmxy = z^p при xy0, m, n5, m≠n – простые нечётные числа.

6.                   Доказать, имеет или не имеет решений в целых числах уравнение xⁿ + yⁿ +n(x + y) = zⁿ при xy0, n5, n – простое нечётное число.

7.                   Доказать, имеет или не имеет решений в целых числах уравнение x^m + yⁿ + mn(x + y) = z^p при xy0, m,n,p5, m, n, p – простые нечётные числа, mn p.

8.                   Доказать, имеет или не имеет решений в целых числах уравнение x^m + yⁿ + (x + y) = z^p при xy0, m, n, p5, m, n, p – простые нечётные числа, mn p.

9.                   Доказать, что уравнение (x + y)(xⁿ - yⁿ) = z^n-1 имеет или не имеет решений в целых числах при n≥4; xy0. При n=3; x=5; y=3; уравнение (x + y)(x³ - y³ ) = z² имеет решение в целых числах.

10.               Доказать, что уравнение (x + y)(xⁿ - yⁿ) = z^m имеет или не имеет решений в целых числах при n≥4; m≠n; xy0.

11.               Доказать, является или не является число х^х +2 простым при простом нечетном х.

Литература

1.                  Кантор, И.Л. Гиперкомплексные числа / И.Л. Кантор и др. М.: Наука. 1973, 144 с.

2.                  Фадеев Д.К. Лекции по алгебре / Д.К. Фадеев.М.: Наука., 1984.

3.                  Боревич З.И., Шафаревич Н.Р. Теория чисел. М.: Наука.—1985.-368 с.

4.                  Карпунин И.И., Подлозный Э.Д. О свойствах сравнения по ненулевому рациональному модулю. Материалы 13 Международной научной конференции имени академика Н.Кравчука / И.И. Карпунин, Э.Д. Подлозный. Институт математики НАН Украины. Национальный педагогический университет им Н.Драгоманова. Киев.-2010.- с.139.

5.                  Карпунин И.И., Подлозный Э.Д. О связи между системами чисел / И.И Карпунин, Э.Д Подлозный. Информационная среда вуза. Материалы XVI Международной научно-технической конференции. Иваново: государственный строительный университет.- 2009.- с.445-447.

6.                  Карпунин И.И., Подлозный Э.Д. К вопросу о делимости чисел / И.И Карпунин, Э.Д Подлозный. Сучаснi проблеми науки та освiти. 8-я Международная междистиплинарная научно-практическая школа-конференция. Харькiв -2007.- С.80.

Поступила в редакцию 03.12.2015 г.