Вывод классической формулы выпадения сторон монеты из формул для пропорций составных событий потоковой последовательности
Филатов Олег Владимирович,
инженер-программист НТЦ Модуль, г. Москва.
По классической формуле, описывающей выпадение сторон монеты, нельзя рассчитать численность составных событий в потоковой последовательности (п-ти). Но из формул для расчёта составных событий потоковой п-ти выводится классическая формула монеты. Следовательно, формулы потоковой п-ти являются первичными формулами. В статье показан вывод формулы выпадения сторон монеты из формул потоковой п-ти для составных событий.
Ключевые слова: потоковая последовательность, составное событие, элементарное событие, цуга, мода, выпадение сторон монеты.
Используемые сокращения и термины: ПП – потоковая последовательность; ф.; ф-ла – формула; Эл – элементарное бинарное случайное событие (0; 1).
Введение
В работе [4] было показано на основе экспериментальных данных, как по уже выпавшим составным событиям (о составных событиях написано в работах [1, 2]), образованных бинарными случайными элементарными событиями можно выбирать один из двух вероятностных потоков. Первый вероятностный поток соответствует тому, что указанное составное событие повторится в 18% случаев. А второй вероятностный поток соответствует тому, что указанное составное событие повторится в 37% случаев (пропорции этого потока близки к пропорциям Золотого сечения).
Так как в работе [4] не были приведены формулы для количественного расчёта, то эти формулы приводятся в данной работе.
В работе [4] рассматривался первичный случайный процесс эквивалентный подбрасыванию монеты. Случайные события этого процесса последовательно записывались по мере выпадения, друг за другом, образуя потоковую последовательность (ПП): F0,5(N). Где: F – обозначает поток бинарных событий; 0,5 – показывает вероятность выпадения элементарного события (эла); N – указывает на порядковый номер последнего выпавшего элементарного события (эла).
Таким образом, была создана и записана на диск случайная, максимально сложная ПП, длиной в 5*108 бинарных событий. В записанную на диск ПП осуществлялось внедрение зонда толщиной в 1 эл (z=1), с шагом 25 эл (подробнее о зондовых внедрениях в работе [3]). После внедрения зонда определялась длина составного события nSN, в которое попадал зонд. Определялись длины составных событий слева и справа от зондового события. По результатам определения длины зондового события и событий слева и справа от него была построена таблица, «Последовательности nS событий», которая повторена в этой работе как таблица 1.
Описание вероятностных цепочек
- это вероятностные цепочки составных событий.
- если длины событий слева и справа от зондового события (событие в которое попал зонд) не равны длине зондового события, то эта цепочка учитывалась в столбце 2, который имеет символьное обозначение «≠_nS X _≠».
Две последующие цепочки описываются одной и той же формулой, поэтому им присвоено одно на двоих символьное обозначение - .
- если длина события слева не равна длине зондового события, а длина события справа равна длине зондового события, то эта цепочка учитывалась в столбце 3, который имеет символьное обозначение «≠_nSX_nS».
- если длина события справа не равна длине зондового события, а длина события слева равна длине зондового события, то эта цепочка учитывалась в столбце 4, который имеет символьное обозначение «nS_nSX_≠».
- длины событий слева и справа равны длине зондового события, эта цепочка учитывалась в столбце 5, «nS_nS X _ nS».
Столбец 6 - «∑2,3,4,5» является суммой столбцов: 2, 3, 4, 5.
Таблица 1.
N[1] = 5*108 эл; k(пропуск) = 25; N / k = 2*107 число погружений зонда в ПП |
||||||
nM |
|
|
|
|
||
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
n |
≠_nS X _≠ |
≠_nS X _ nS |
nS _ nS X_≠ |
nS _ nS X_ nS |
∑2,3,4,5 |
|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 … |
1251186 2812208 2875015 2195761 1465252 908043 538637 310129 174770 97681 54134 29489 15724 8635 4656 2364 1303 … |
1249116 937865 410314 146647 47355 14397 4302 1257 300 89 21 … |
1248252 936791 410669 146154 47737 14288 4230 1281 319 90 29 … |
1249427 311787 59318 9749 1451 239 37 6 |
4997981 4998651 3755316 2498311 1561795 936967 547206 312673 175389 97860 54184 29501 15727 8638 4656 2364 1303 … |
|
|
||||||
n(3) = n(4)
|
|
|||||
∑S
|
12 746 464 (≈63,73%) |
2 811 672 (≈14,06%) |
2 809 849 (≈14,05%) |
1 632 014 (≈8,16%) |
20000000 (100%) |
|
∑El ( nSX ) |
47 292 171 (≈78,81%) |
5 309 636 (≈8,45%) |
5 306 931 (≈8,84%) |
2 098 947 (≈3,50%) |
60007685 (100%) |
|
|
|
|
|
|
3,0 |
|
В столбце 1 приведены номера мод, которые соответствуют длинам составных событий.
Строки таблицы: 1, .., 17 – соответствуют модам и содержат численности описанных выше случаев («≠_nSX _≠», «≠_nSX _ nS», «nS_nSX_≠», «nS_nSX_nS», «∑2,3,4,5») для каждой из мод.
Число составных событий nS для каждой из мод в столбце 6 рассчитывается по (1) (смотри работу [3], (9)):
(1)
Численность событий в строках столбца 6 есть сумма по столбцам 2, 3, 4, 5. Поэтому можно написать равенство, которое связывает между собой все столбцы 2, 3, 4, 5 и столбец 6:
(2)
Нормирование по числу зондовых исследований показано в (2.1):
(2.1)
Формулы для связи - полного числа событий с каждой из вероятностных цепочек. Модовая вероятность выпадения цепочки
Применяемые ниже сокращения раскрыты в вышеприведённом подразделе «Описание вероятностных цепочек».
Модовая вероятность обозначатся буквой p и буквой n - в левом верхнем углу: - буква n подчёркивает, что это модовая вероятность. Модовая вероятность может быть применена в расчётах только после внедрения зонда в составное событие и определение длины этого составного события. До внедрения зонда в составное событие неясно, какую конкретно модовую вероятность, из полного множества модовых вероятностей, надо выбирать.
По (4) рассчитывается число вероятностных цепочек типа (мат. ожидание):
(4)
По (4.1) рассчитывается вероятность для цепочки :
(4.1)
По (5) рассчитывается число вероятностных цепочек типа (мат. ожидание):
(5)
По (5.1) рассчитывается вероятность для цепочки :
(5.1)
По (6) рассчитывается число вероятностных цепочек типа (мат. ожидание):
(6)
По (6.1) рассчитывается вероятность для цепочки :
(6.1)
Для перехода от математического ожидания числа цепочек к вероятности их выпадения делим каждый член (2) на – полное число событий во всех вероятностных цепочках для каждой моды.
Получаем полную (единичную) сумму вероятностей. Сумма вероятностей всех четырёх возможных цепочек равна единице:
(7)
Подставляя вместо символьных обозначений вероятностных цепочек их формулы ((4) – (6)) получаем (7.1):
(7.1)
С помощью (7) и (7.1) в таблице 2 производится описание разнообразных возможных комбинаций вероятностных цепочек.
Таблица 2.
|
Ситуация |
Вывод реализующейся вероятностной формулы |
1 |
≠_nSX _≠ |
|
2 |
≠_nSX _ nS |
|
3 |
nS _ nSX_≠ |
|
4 |
nS _ nSX_ nS |
|
5 |
nS _ nSX_??? |
nS _ nS X_≠ + nS _ nS X_ nS = |
6 |
???_nSX_ nS |
≠_nS X _ nS + nS _ nS X_ nS = |
В строке 1 таблицы 2 выведена формула для расчёта выпадения ситуации ≠_nSX _≠, в которой длина зондового события не равна длинам окружающих его событий. Она имеет классический вид (1-р)*(1-р).
Такое же совпадение с классическим видом получено для ситуаций в строках 2 и 3: (1-р)*р; р*(1-р).
В строке 4 так же получено совпадение формулы с классическим видом для ситуации: р*р.
В строке 5 выведена классическая формула выпадения в потоковой последовательности составного события длины n. Вероятность того, что справа выпадет событие такой же длины: . Вероятность того, что справа событие такой же не повторится: .
Если слева событие не повторилось, то вероятность того, что справа событие повторится:
Если слева событие не повторилось, то вероятность того, что справа событие не повторится:
Рассмотренные выше цепочки составных событий обладали вполне определённой длиной n. При переходе от составных событий определённой длины к множеству составных событий разных длин, так же возникают вероятностные отношения.
Возможность выбора пропорций будущих потоков, на основе анализа длин выпавших событий
В работе [4] на основе экспериментальных данных показано, что если реализовалась ситуация ≠_nSX, то есть длина зондового составного события НЕ равна длине предшествующего ему составного события, то с вероятностью 0,8192 у составного события, следующего за зондовым событием, будет другая длина, не равная длине зондового события. А, с вероятностью 0,1808 длина последующего составного события совпадёт с длиной зондового события.
Если реализовалась ситуация nS _ nS X, то есть длина зондового события равна длине предшествующего составного события, то с вероятностью 0,6326 последующее составное событие будет иметь длину не равную длине зондового события. А с вероятностью 0,3674 длина составного события следующего за зондовым событием совпадёт с его длиной.
Анализируя длины зондового и предшествующего ему составных событий можно выбирать из двух потоков результаты угадываний имеющих разную вероятность: (0,8192; 0,1808) и (0,6326; 0,3674). Интересно отметить зеркальность двух цифр после запятой для каждого из потоков.
Надо отметить, что при последовательном, пошаговом, прохождении ПП (без пропусков элементарных событий и без зондового исследования, работа [1]) число повторяющихся событий в ПП будет: . Повторов, друг за другом, составных событий с одинаковыми длинами: . Выпадение последующего события другой длины произойдёт в 66,7% случаях смен составных событий.
Расчёт числа одинарных цуг потоковой последовательности по результатам внедрения зонда
Замечаем, что событие является одинарной цугой nC1: .
Число попаданий зонда в одинарные составные события ПП F0,5(N) можно связать с числом её цуг . Для этого надо умножить на k и разделить на n. Действительно, так как:
То:
Коэффициент связи между цепочкой и числом составных событий в ПП
Выражение числа составных событий ПП через :
Несколько отношений между величинами таблицы 1, которые близки к пропорциям Золотого и Серебряного сечений.
1) Сумма всех составных событий в столбце 2 равна 12 746 464. Отношение этой суммы к общему числу зондовых замеров (20000000) приближается к золотому сечению: 12 746 464/20000000=0,6373232.
2) В зондовых событиях находится 60007685 эл. В среднем на одно зондовое событие приходится 3,00 эла. Отношение среднего числа элементарных событий (1,89) в столбцах 3, 4 – к среднему числу эл приходящихся на одно зондовое событие (3,00) приближаются к золотому сечению: 1,89/3,00=0,63.
3) Отношение суммы эл из второго столбца к сумме эл всех зондовых событий (и наоборот) хорошо совпадает с серебряным сечением: 47 292 171/60007685=0,78810; 60007685 / 47 292 171 = 1,2689.
4) Сумма всех составных событий столбцов 3 и 4 между собой, делённая на сумму составных событий столбца 2, хорошо соответствует величине серебряного сечения: (2 809 849+2 811 672) / 12 746 464 = 0,44103.
5) Та же самая сумма всех составных событий столбцов 3 и 4 между собой хорошо соответствует величине второго плеча серебряного сечения: (2 809 849+2 811 672+1 632 014)/12 746 464=0,56906.
Литература
1. Филатов О. В., Филатов И.О., Макеева Л.Л. и др. «Потоковая теория: из сайта в книгу». М.: Век информации, 2014. С.200.
2. Филатов О. В., Филатов И.О., Статья «О закономерностях структуры бинарной последовательности», «Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов», № 5, 2014.
3. Филатов О. В., Филатов И.О., Статья «О закономерностях структуры бинарной последовательности (продолжение 1)», «Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов», № 6, 2014.
4. Филатов О. В., Филатов И.О., Статья «О закономерностях структуры бинарной последовательности (продолжение 2)», «Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов», № 7, 2014.
Поступила в редакцию 20.01.2015 г.