ISSN 1991-3087

Свидетельство о регистрации СМИ: ПИ № ФС77-24978 от 05.07.2006 г.

ISSN 1991-3087

Подписной индекс №42457

Периодичность - 1 раз в месяц.

Вид обложки

Адрес редакции: 305008, г.Курск, Бурцевский проезд, д.7.

Тел.: 8-910-740-44-28

E-mail: jurnal@jurnal.org

Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100
Яндекс.Метрика

О бесконечности числа регулярных простых чисел

 

Карпунин Иван Иванович,

доктор технических наук, профессор, профессор кафедры Белорусского национального технического университета, академик МИА.

 

Теорема. Если – иррегулярное простое число, равное  (p>37), то между p и содержится по меньшей мере одно регулярное число V, равное .

Доказательство. Из литературы [1-5] известно, что число иррегулярных простых чисел бесконечно. Докажем, что число регулярных простых чисел также бесконечно.

Так как , то целое  (где  ,  – числители чисел Бернулли, – целые числа после деления  на ), очевидно >1.

Предложение. Если  делится на  , то независимо от того  дробное или целое число ≥1, деление на это число дает целое число.

Итак имеем II случая: может быть целым или дробным числом: – целым,  дробным большим 1.

Частный случай I:  – целое число. Итак имеем  . Если  делится на , то получается целое число, допустим . Тогда , где .

Частный случай II. Здесь , – дробное число >1. Представим дробное число  следующим образом  . Тогда , . В обоих случаях имеем сравнение по ненулевому рациональному модулю.

В связи с тем, что  (независимо от того  – дробное или целое число >1, как частные случаи деления  на ), оно имеет делитель, который <, а следовательно, и <. Если допустить, что , то будет одним из сомножителей произведения:  (где  может быть целым, или дробным числом >1, как частный случай ) и значит будет делителем произведения . Но будучи делителем также числа ,  будет делителем разности этих чисел, или числа , что невозможно, так как  и . Следовательно, , а так как уже выяснено, что , то имеем .

Так как , , …, (где , ,…, – также делители чисел ) и последовательность иррегулярны простых чисел бесконечна, то получим последовательность простых регулярных чисел:  количество которых также бесконечно. Это означает, что теорема доказана.

Таким образом, для каждого иррегулярного числа существует регулярное большее его. Отсюда следует, что простых регулярных чисел бесконечное множество. Обобщая вышеизложенное и литературные источники [1-5] предлагается следующее.

1.           Доказать, что уравнение: не имеет решения в целых числах при .

2.                   Доказать, что уравнение:  не делится на  (;).

3.                   Доказать, может ли данное простое  делить число вида: , где - данное целое, а  и  - взаимно простые целые числа ().

4.                   Доказать, что в любых арифметических прогрессиях (1) и (2):

                                                                            (1)

                                                              (2)

для которых  и  взаимно простые числа, содержится бесконечно много простых чисел.

5.                   Доказать, может ли уравнение:  иметь решения в целых числах ( - простые числа, ,).

6.                   Доказать, может ли уравнение имеет решения в целых числах (, ).

7.                   Доказать, что существует бесконечное множество значений n, при которых число 2 + n простое, где n простое нечетное число.

8.                   Доказать, что существует ли бесконечное множество значений x и n при которых число хn + 2 простое, где n и х – простые числа при n=х и при n≠x.

9.                   Доказать, имеют ли решения в целых числах уравнения: хn +xn-1 .y=Zn ; xn +xn-1.y +xn-2 .y2 =zn ;…; xn +xn-1.y +xn-2 .y2 +….+yn-2x2+yn-1x +yn=zn , где n≥3, n-простое нечетное число, (уравнение xn +xn-1.y +xn-2 .y2 +….+yn-2x2+yn-1x +yn=zn имеет решение в целых числах при n =2 и х=5, у=3).

10.               Доказать, имеют ли решения в целых числах уравнения: хn +nxn-1 .y=zn;

 n(n-1)

xn +nxn-1.y + ─ xn-2 .y2 =zn ;….; хn +nxn-1 .y+ …+ nyn-1x=zn ,

 1.2

где n –простое число, n≥3, .

11. Доказать, существует ли бесконечное значений n, при которых числа 2n +1 и 2n-1 одновременно составные (например, 2n +1 делится на3, 2n-1 делится на 23 при n=11).

12. Доказать, имеет ли решение в целых числах уравнение xn +xn-1.y +xn-2 .y2 +….+yn-2x2+yn-1x +yn=zm , где m≠n , m,n≥3, , .

13. Доказать, имеет или не имеют решений в целых числах уравнения mn + mn + nn =pk ; mm +mn + nn =pk ; mn +mn + nn =pn , где k,m,n,p ≥3 –простые числа.

14. Доказать, имеет ли решения в целых числах уравнение xm +yn +zp =tk, где m≠n≠p≠k, x≠y≠z≠0, m,n,p,k≥5- простые нечетные числа.

 

Литература

 

1.                  Боревич З.И., Шафаревич Н.Р.Теория чисел. М.: Наука.–1985.368 с.

2.                  Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел. М.: Наука – 1980. –– 239 с.

3.                  Эдвардс Г. Последняя теорема Ферма. М.: Мир.–1980.– 480 с.

4.                  Айерленд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. М.: Мир – 1987 – С. 295.

5.                  Карпунин И.И., Подлозный Э.Д. К вопросу о делимости чисел / Сучаснi проблеми науки та освiти. 8-а Мiжнародна мiждисциплiнарна науково-практична школа-конференцiя. Харькiв – 2007. – С. 80.

 

Поступила в редакцию 09.02.2015 г.

2006-2018 © Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов.
Все материалы, размещенные на данном сайте, охраняются авторским правом. При использовании материалов сайта активная ссылка на первоисточник обязательна.