О постоянной Эйлера
Шмойлов Владимир Ильич,
научный сотрудник Лаборатории цифровой обработки сигналов НИИ многопроцессорных вычислительных систем им. А. В. Каляева,
Кириченко Геннадий Анатольевич,
аспирант, инженер кафедры вычислительной техники. Южный федеральный университет, Инженерно-технологическая академия.
Лукьянов Владислав Анатольевич,
аспирант. Южный федеральный университет, Инженерно-технологическая академия. Институт компьютерных технологий и информационной безопасности.
About the constant of Euler
V.I. Shmoylov, G.A. Kirichenko, V.A. Lukyanov.
Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ, НИР №2257 базовой части государственного задания № 2014/174.
Определена постоянная, аналогичная постоянной Эйлера, которая связана не с гармоническим рядом, а с соответствующей гармоническому ряду цепной дробью. Рассматривается цепная дробь, равноценная гармоническому ряду.
Ключевые слова: постоянная Эйлера, гармонический ряд, соответствующие и равноценные цепные дроби.
It determines the constant, similar to Euler's constant, which is not connected with the harmonic series, and with the corresponding harmonic series continued fraction. We consider the continued fraction, equivalent to a harmonic series.
Keywords: Euler's constant, harmonic series, corresponding and equivalent continued fractions.
Введение
В математическом анализе и в теории чисел часто используется постоянная Эйлера (или постоянная Эйлера-Маскерони), которая определяется как предел разности между частичной суммой гармонического ряда и натуральным логарифмом числа:
(1)
Иногда для обозначения постоянной используется латинская буква С. Это обозначение постоянной было предложено Эйлером в 1735 г, который установил константу с пятнадцатью знаками. В 1790 г. итальянский математик Лоренцо Маскерони определил 32 цифры постоянной. Постоянная Эйлера имеет значение:
g = 0,577215664901532860606512090082402431042….
Также как и для числа p, правильная цепная дробь постоянной Эйлера не имеет видимой закономерности [1]:
,
где
.
Среди многочисленных математических констант постоянная Эйлера по частоте использования идёт следом за числами p и e [2].
Постоянная Эйлера имеет разнообразные интегральные представления. Например [3]:
Постоянная Эйлера выражается через производную гамма-функции:
Известны записи постоянной Эйлера в виде композиции рядов [4]:
Работы, в которых рассматриваются те или иные аспекты постоянной Эйлера, появляются регулярно уже не одно столетие. Ещё в 1872 году была опубликована обзорная статья английского математика Джеймса Глейшера с изложением истории этой константы [5]. Имеется немалое число недавних публикаций о постоянной Эйлера [6 – 10]. В вышедшей в 2003 г. монографии Стивена Финча [11], посвящённой математическим константам, приведена обширная библиография работ, связанных с постоянной Эйлера, включающая описание более ста источников.
Установим постоянную, аналогичную постоянной Эйлера, которая была бы связана не с гармоническим рядом, а с соответствующей гармоническому ряду цепной дробью.
1. Определение цепной дроби, соответствующей гармоническому ряду
Рассмотрим цепные дроби, которыми может быть представлен гармонический ряд. Запишем известные степенные ряды для логарифмической функции:
, (
), (2)
, (
). (3)
Для степенных рядов (2) и (3) могут быть найдены, так называемые, соответствующие цепные дроби [12]:
, (4)
. (5)
Цепная дробь (4) для логарифмической функции была установлена Ламбертом в 1768 г. и независимо Лагранжем в 1776 г. [13]. Ламберт обратил внимание, что цепная дробь для логарифмической функции, в отличие от ряда Меркатора, сходится и при x > 1.
Соответствующие цепные дроби строятся по рядам с использованием различных алгоритмов, например, по формулам Хейлерманна-Стилтьеса или методом Рутисхаузера [14]. Соответствующие цепные дроби в сравнении с рядами имеют, как правило, высокую скорость сходимости и, что принципиально важно, представляют функции в более широких областях. В табл. 1 и табл. 2 приведены, соответственно, результаты вычисления ln 2 при помощи равноценной, то есть эквивалентной ряду Меркатора, цепной дроби
(6)
и с использованием соответствующей цепной дроби
. (7)
Таблица 1.
Определение значения ln 2 равноценной цепной дробью (6).
|
Число звеньев |
Значения подходящих дробей |
Погрешность аппроксимации e = |ln 2 – Pn/Qn| |
|
10 100 1000 10000 100000 1000000 10000000 100000000 |
0.645634920635 0.688172179310 0.692647430560 0.693097183060 0.693142180585 0.693146680560 0.693147130560 0.693147175560 |
0.047512259925 0.004975001250 0.000499750000 0.000049997500 0.000004999998 0.000000500000 0.000000050000 0.000000005000 |
Таблица 2.
Определение значения ln 2 соответствующей цепной дробью (7).
|
Число звеньев |
Значения подходящих дробей |
Погрешность аппроксимации e = |ln 2 – Pn/Qn| |
|
5 6 7 8 9 10 11 12 |
0,693333333333 0,693121693121 0,693152454780 0,693146417445 0,693147332354 0,693147157853 0,693147184962 0,693147179886 |
0,000186152773 0,000025487438 0,000005274220 0,000000763114 0,000000151794 0,000000022706 0,000000004402 0,000000000673 |
Использование соответствующей цепной дроби (7), содержащей 12 звеньев, обеспечивает точность вычисления ln 2 с девятью десятичными разрядами. Для сравнения: применение для определения ln 2 равноценной цепной дроби (6), включающей 100 миллионов звеньев, позволяет вычислить ln 2 всего с восемью верными десятичными знаками. Разница в эффективности аппроксимации фантастическая.
Для цепных дробей (4) и (5) можно записать:
, (8)
. (9)
Значения подходящих дробей разложений (8) и (9), если цепные дроби вычислять с учетом все большего числа звеньев, стремятся, соответственно, к бесконечно малым и бесконечно большим величинам, которые иногда обозначают как – ¥ и + ¥.
Таким образом, 
имеет
два представления, – гармоническим рядом:
(10)
и цепной дробью:
. (11)
В цепной дроби (11) номер подходящей дроби совпадает со значением частного знаменателя.
Соответствующая гармоническому ряду цепная дробь (11) также, как и гармонический ряд, расходится. Частичные суммы гармонического ряда и значения подходящих цепных дробей (11) неограниченно возрастают. Однако в отношении скорости роста частичные суммы гармонического ряда и подходящие дроби соответствующей ему цепной дроби ведут себя по-разному.
Если частичную сумму гармонического ряда обозначить через
, то
, 
, 
. (12)
Для подходящих дробей разложения (11), которые можно рассматривать как аналог частичных сумм для цепных дробей, имеют место рекуррентные формулы:
, 
, 
, 
, 
. (13)
Записывая подходящие дроби соответствующей гармоническому ряду цепной дроби (11), приходим к «удвоенному» гармоническому ряду:
Из сравнения рекуррентных формул (12) и (13) следует, что значения подходящих дробей цепной дроби (11) увеличиваются значительно быстрее, чем растут значения частичных сумм гармонического ряда.
В табл. 3 даны значения частичных сумм гармонического ряда и значения подходящих соответствующей цепной дроби (11).
Таблица 3.
Значения частичных сумм гармонического ряда и подходящих дроби (11).
|
n |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
|
1 |
3/2 |
11/6 |
25/12 |
137/60 |
49/20 |
363/140 |
761/280 |
|
|
1 |
2 |
5/2 |
3 |
10/3 |
11/3 |
47/12 |
25/6 |
Можно записать формулу, связывающую значения подходящих соответствующей цепной дроби (11), построенной для гармонического ряда, и частичные суммы гармонического ряда:
(14)
где 
– подходящая дробь с
номером 2n цепной дроби (11).
Соотношение (14) запишем в развёрнутом виде:
.
Например,
Обратимся к формуле (1), то есть к постоянной Эйлера, которая определяется как предел разности между частичной суммой гармонического ряда и натуральным логарифмом числа.
В табл. 4 приведены результаты вычисления постоянной Эйлера по формуле (1).
Таблица 4.
Определение значения постоянной Эйлера.
|
Значения n |
|
Значения ln n |
|
Погрешность,
|
|
10 |
2,92896825396825 |
2,30258509299405 |
0,62638316097421 |
0,04916749607268 |
|
100 |
5,18737751763962 |
4,60517018598809 |
0,58220733165153 |
0,00499166675000 |
|
1000 |
7,48547086055034 |
6,90775527898214 |
0,57771558156821 |
0,00049991666668 |
|
10000 |
9,78760603604438 |
9,21034037197618 |
0,57726566406820 |
0,00004999916667 |
|
100000 |
12,09014612986340 |
11,51292546497020 |
0,57722066489320 |
0,00000499999167 |
|
1000000 |
14,39272672286570 |
13,81551055796430 |
0,57721616490145 |
0,00000049999992 |
|
10000000 |
16,69531136585990 |
16,11809565095830 |
0,57721571490153 |
0,00000005000000 |
|
100000000 |
18,99789641385390 |
18,42068074395240 |
0,57721566990154 |
0,00000000500001 |
|
1000000000 |
21,30048150234790 |
20,72326583694640 |
0,57721566540154 |
0,00000000050000 |
Из табл. 4 видно, что нахождение верных знаков константы Эйлера по формуле (1) осуществляется весьма медленно.
Если в формуле (1), определяющей постоянную Эйлера, отрезок гармонического ряда, содержащего n слагаемых, где n – чётное число, то есть
заменить отрезком соответствующей цепной дроби, имеющей также n звеньев
то, очевидно, что конечного предела у этого выражения не будет, однако при замене в такой конструкции ln n на ln n2 и перестановке слагаемых получим постоянную:
(15)
Запишем формулу (15) в компактном виде:
.
где ln n2 – натуральный логарифм квадрата
числа n, 
– значение n-й
подходящей цепной дроби (11).
В табл. 5 даны результаты определения постоянной L1 по формуле (15).
Таблица 5.
Определение постоянной L1.
|
Значения n |
Значения
|
Значения подходящих
|
Значения
разности |
|
10 |
4,60517018598809 |
4.5666666666666673 |
0.038503519321424 |
|
100 |
9,21034037197618 |
8.9984106766588532 |
0.211929695317333 |
|
1000 |
13,81551055796430 |
13.585646859981065 |
0.229863697983224 |
|
10000 |
18,42068074395240 |
18.189017705968841 |
0.231663037983472 |
|
100000 |
23,02585092994050 |
22.794007898556639 |
0.231843031384089 |
|
1000000 |
27,63102111592850 |
27.399160084609722 |
0.231861031329127 |
|
10000000 |
32,23619130191660 |
32.004328470597066 |
0.231862831238225 |
|
100000000 |
36,84136148790470 |
36.609498476630783 |
0.231863059026393 |
Таким образом, постоянная L1, определяемая формулой (15), имеет значение 0,2318630…. Так как при вычислении этой константы использовались соответствующие цепные дроби логарифмической функции, установленные Ламбертом, то будем называть постоянную (15) постоянной Ламберта и обозначить её буквой L1.
Если постоянная Эйлера g определяется как предел разности частичной суммы гармонического ряда и натурального логарифма числа n, то постоянная Ламберта L1 определяется как предел разности логарифма квадрата числа n и значения n-й подходящей соответствующей цепной дроби (11), построенной для гармонического ряда.
Учитывая формулу (14), устанавливающую связь между значениями подходящих цепных дробей (11) и частичными суммами гармонического ряда, постоянную L1 можно представить в виде:
, (16)
или в эквивалентной записи:
(17)
В формулах (16) и (17) n–чётное число. Обозначая L1/2 через L2, получим:
(18)
Константу L2 можно определить как предел разности между натуральным логарифмом числа n и частичной суммой гармонического ряда, причём, суммирование распространяется до n/2, где n – чётное число. Константа L2 равна L1/2, то есть L2=0,1159315… .
Легко заметить, что постоянная L2, определяемая формулой (18), аналогична по структуре формуле (1), определяющей постоянную Эйлера, которая имеет многочисленные приложения в различных разделах математики и, прежде всего, в анализе.
2. Цепная дробь, равноценная гармоническому ряду
Для ряда, составленного из элементов, обратных нечётным натуральным числам
(19)
соответствующей цепной дробью будет дробь
. (20)
Если частичную сумму ряда (19) обозначить hn, то
Для подходящих цепной дроби (20), которые будем
обозначать как 
имеет место рекуррентное
соотношение
n = 2, 3, …. (21)
Для частичных сумм гармонического ряда Hn имеет место формула (12). Сравнивая соотношения (12) и (21), можно записать:
где 
– n-я
подходящая дробь цепной дроби (20).
Таким образом, цепная дробь (20) является равноценной, то есть эквивалентной, гармоническому ряду:
… … … … … … … … … … …
Можно записать равенство:
. (22)
Цепная дробь (22) – это другая запись фундаментального объекта математического анализа – гармонического ряда. Следовательно, постоянная Эйлера может быть представлена в записи, отличной от стандартной:
Ряд, содержащий обратные четные числа
(23)
представляется соответствующей цепной дробью:
. (24)
Цепная дробь (24) получена А.З. Никипорцем [16]. Можно выполнить сложение цепных дробей:
Эквивалентными преобразованиями цепная дробь (24) приводится к виду:
(25)
Следовательно, n-ю подходящую цепной дроби (25),
которую будем обозначать как 
, можно записать:
где n – чётное число.
Если частичную сумму ряда (23) обозначить gn, то
.
Для подходящих 
цепной
дроби (25), которая является соответствующей цепной дробью для ряда (23), имеют
место рекуррентные соотношения:
n = 2,3,…
В табл. 6 приведены частичные суммы ряда (23) и значения подходящих соответствующих цепных дробей (25).
Таблица 6.
Значения частичных сумм ряда (23) и подходящих цепной дроби (25).
|
n |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
|
1/2 |
3/4 |
11/12 |
25/24 |
137/120 |
49/40 |
363/280 |
761/560 |
|
|
1/2 |
1 |
5/4 |
3/2 |
10/6 |
11/6 |
47/24 |
25/12 |
Запишем формулу, связывающею значения подходящих соответствующей цепных дробей (25), построенной для ряда, содержащего обратные чётные числа, и частичные суммы этого ряда:
В табл. 7 показаны частичные суммы гармонического ряда и значения подходящих соответствующей цепной дроби (25), построенной для ряда (23), содержащего обратные чётные числа.
Таблица 7.
Значения частичных сумм гармонического ряда и подходящих дроби (25).
|
n |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
|
1 |
3/2 |
11/6 |
25/12 |
137/60 |
49/20 |
363/140 |
761/280 |
|
|
1/2 |
1 |
5/4 |
3/2 |
10/6 |
11/6 |
47/24 |
25/12 |
Формула, устанавливающая связь подходящих цепной дроби (25), построенной для ряда, содержащего обратные чётные числа, и частичной суммой гармонического ряда, имеет вид:
. (26)
Например:
Соотношение (26) можно записать:
. (27)
Учитывая соотношение (27), ранее установленную константу L2 представим в виде:
.
Таким образом, имеют место формулы, устанавливающее эквивалентность подходящих дробей частичным суммам гармонического ряда:
, (28)
, (29)
. (30)
Подходящие дроби Pn/Qn – это подходящие цепной дроби, соответствующей гармоническому ряду. Подходящие P(н)n/Q(н)n и P(ч)n/Q(ч)n – подходящие соответствующих цепных дробей, построенных для рядов из обратных нечётных и чётных чисел.
Из соотношение (28) следует, что значение n-й подходящей цепной дроби, соответствующей гармоническому ряду, эквивалентно удвоенному значению частичной суммы гармонического ряда, причём, частичная сумма составлена из n/2 членов гармонического ряда.
Формула (29) показывает, что n-я подходящая цепной дроби, соответствующая ряду, составленной из элементов, обратных нечётным числам, эквивалентна n-й частичной сумме гармонического ряда. Другими словами, цепная дробь (20) эквивалента гармоническому ряду. Из формулы (30) следует, что n-я подходящая цепной дроби, соответствующей ряду, включающие обратные чётные числа, эквивалентна частичной сумме гармонического ряда с числом членов n/2.
Запишем формулы, связывающие подходящие дроби Pn/Qn
соответствующих цепных дробей гармонического ряда с подходящими цепными дробями
и 
соответствующих
цепных дробей, построенных для рядов из обратных нечётных и чётных чисел:
Кроме того, можно записать:
Определим константы, связанные не с гармоническим рядом, а с рядами, содержащими обратные нечётные и чётные числа.
Константа, аналогичная константе Эйлера, включающая вместо гармонического ряда ряд из элементов, обратных нечётным числам, имеет вид:
, (31)
или:
В табл. 8 приведены результаты вычисления постоянной L3 по формуле (31).
Таблица 8.
Определения постоянной L3.
|
n |
|
|
|
|
10 |
2,13325553015955 |
1,15129254649702 |
0,981962983662532 |
|
100 |
3,28434218930163 |
2,30258509299405 |
0,981757096307589 |
|
1000 |
4,43563267333511 |
3,45387763949107 |
0,981755033844041 |
|
10000 |
5,58692519920714 |
4,60517018598809 |
0,981755013219045 |
|
100000 |
6,73821774549791 |
5,75646273248511 |
0,981755013012795 |
|
1000000 |
7,88951029199287 |
6,90775527898214 |
0,981755013010733 |
|
10000000 |
9,04080283848987 |
8,05904782547916 |
0,981755013010711 |
|
100000000 |
10,19209538498690 |
9,21034037197618 |
0,981755013010712 |
|
1000000000 |
11,34338793148390 |
10,36163291847320 |
0,981755013010725 |
Из табл. 8 можно видеть, что константа L3 устанавливаются с большой точностью с увеличением n. Так, при n = 109 константа L3 определена с 13-ю десятичными разрядами, в то время как константа Эйлера при n = 109 была получена с 8-ю точными знаками (табл. 4).
Константа, в записи которой вместо гармонического ряда записан ряд из элементов, обратных чётным числам, представляется формулой:
Несложно показать, что константа L4 равна половине константы Эйлера:
….
Запишем ещё одну константу, кратную константе Эйлера:
(32)
Выражение (32) приведём в эквивалентном виде:
откуда следует, что
L5 = 2g = 1,1544313….
В анализе известна формула:
В [17] приведено любопытное выражение:
. (33)
Цепная дробь в формуле (33) – расходящаяся в классическом смысле. Значение этой цепной дроби, однако, можно установить.
В [18] предложено иное, нежели традиционное, определение сходимости непрерывных дробей. Для определения значения непрерывных дробей используется r/j-алгоритм:
Непрерывная дробь
(34)
сходится и имеет своим значением в общем случае
комплексное число 
, если существуют пределы
, (35)
, (36)
где Pi /Qi – значения i-й подходящей непрерывной дроби (34) из совокупности, включающей n подходящих дробей,
kn – число отрицательных подходящих дробей из n подходящих дробей.
Этот способ выходит за рамки традиционных методов
суммирования, ибо позволяет, при определенных условиях, за последовательностью
вещественных подходящих дробей усмотреть некое комплексное число, которое,
собственно, и представлено этой непрерывной дробью. Признаком комплексности
такой расходящейся непрерывной дроби с вещественными элементами служат перемены
знаков её подходящих дробей, причем, эти перемены знаков происходят сколько
угодно много раз. Другими словами, комплексная единица ei
устанавливается из “поведения” подходящих дробей непрерывной дроби. Параметры
же комплексного числа 
то есть модуль r0
и аргумент φ0, могут быть определены, в частности, так
называемым r/φ – алгоритмом, то есть формулами (36) и (37).
В случае непрерывных дробей, сходящихся в классическом
смысле, аргумент φ0 примет значения 0 при π.
Если φ0 = 0, то значения сходящейся непрерывной дроби
будет совпадать со значением модуля r0: 
. Если φ0 = p, то
значение сходящейся непрерывной дроби будет отрицательное число: 
Использование r/j-алгоритма существенно расширило область применения цепных дробей в вычислительной математике [19 – 23].
Результаты вычисления расходящейся цепной дроби, входящей в формулу (33), приведены в табл. 9.
Таблица 9
Нахождение значения расходящейся цепной дроби
|
Номер звена дроби |
Значения подходящих дробей |
Модуль комплексного числа, rn |
Погрешность,
|
Аргумент комплексного числа, |
Погрешность,
|
|
4 6 16 32 64 128 256 512 1024 … 1048576 2097152 4194304 8388608 |
5,43656365 1,08731273 1,26199375 -3,22229391 -5,44198600 3,40902451 2,26696092 2,46414684 1,67450019 … 5,89027864 8,12082269 7,05859556 2,28589509 |
3,23260009 3,84423102 4,12365173 3,21557146 3,40441763 3,44911711 3,60976107 3,65055907 3,69927410 … 3,66844670 3,66953895 3,66906517 3,66933307 |
0,43633380 0,17529713 0,44717838 0,45336243 0,26451626 0,21981677 0,05917282 0,01837481 0,03034020 … 0,00048718 0,00060305 0,00013127 0,00039917 |
-0,00000000 -0,39269908 -0,78539816 -0,88357293 -0,98174770 -1,03063508 -1,04310693 -1,04310693 -1,02163120 … -1,02773716 -1,02787255 -1,02781431 -1,02805737 |
1,02800173 0,63530265 0,24260357 0,14442880 0,04625403 0,00283335 0,01510519 0,01510519 0,00637053 … 0,00026457 0,00017918 0,00018742 0,00005563 |
Точное значение цепной дроби:
Сумма ряда равна:
… .
Значение постоянной Эйлера, найденное из соотношения (33):
Значение постоянной Эйлера: 
.
Заключение
Исторически сложилось так, что ряды получили в математике несравнимо большее распространение, нежели цепные дроби. Многие математические константы определяются именно рядами. Постоянная Эйлера представляется как предел при n®¥ разности между частичной суммой гармонического ряда и натуральным логарифмом числа n. В статье получены константы, аналогичные по структуре постоянной Эйлера, связанные, однако, не с гармоническим рядом, а с так называемыми соответствующими цепными дробями. Представляет интерес получение других математических констант через построение соответствующих цепных дробей для рядов, определяющих константы.
Литература
1. R. P. Brent, Computation of the regular continued fraction for Euler's constant, Math. – Сотр. 31 (1977) 771-777; MR 55 #9490.
2. D. Bushaw and S. С Saunders, The third constant, Northwest Sci. 59 (1985) 147-158.
3. Y. Nunemacher, On computing Enler's constant, Math. Mag. 65 (1992) 313-322; MR 93j:65042.
4. S. Ramanujan, A series for Euler's constant, Messenger of Math. 46(1917) 73-80.
5. J.W. L. Glaisher, On the history of Euler's constant, Messenger of Math. 1 (1872) 25-30.
6. R. P. Brent and E. M. McMillan, Some new algorithms for high-precision computation of Euler's constant, Math. Comp. 34 (1980) 305-312; MR 82g: 10002.
7. K.T. Atanassov, Remark on the harmonic series, C. R. Acad. Bulgare Sci., v 40 (1987) n. 5, 25-28; MR 88m:40004.
8. J.V Baxley. Euler's constant, Taylor's formula, and slowly converging series, Math. Mag. 65 (1992) 302-313; MR 93j:40001.
9. F.K. Kenter, A matrix representation for Euler's constant, y, Amer. Math. Monthly 106 (1999) 452-454.
10. Cuyt A., Petersen V., Verdonk B., Waadeland H., Jones W. Handbook of Countinued fractions for Special Funktion. – 2008, Springer – 431 p.
11. Steven R. Finch. Mathematical Constants. Cambridge University Press, 2003. – 618 pp.
12. Джоунс У., Трон В. Непрерывные дроби. Аналитическая теория и приложение. Пер. с англ. – М.: Мир, 1985. – 414 с.
13. Brezinky C. History of continued fraction and Pade approximations. – Springer – Verlag, Berlin, 1991. – 547 p.
14. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби. В 3-х т. Т2. Расходящиеся непрерывные дроби. // Нац. акад. наук Украины, Ин-т приклад. проблем механики и математики. – Львов. – 2004. – 558 с.
15. Хованский А.Н. Применение цепных дробей и их обобщений к вопросам приближённого анализа. – М.: Гостехиздат, 1956. – 203 с.
16. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби. В 3-х т. Т3. Из истории непрерывных дробей // Нац. акад. наук Украины, Ин-т приклад. проблем механики и математики. – Львов. – 2004. – 520 с.
17. Шмойлов В.И., Заяц И.А., Слобода М.З. Расходящиеся непрерывные дроби. – Львов: Меркатор, 2000. – 820с.
18. Шмойлов В.И. Суммирование расходящихся цепных дробей. НАН Украины, Ин-т приклад. проблем механики и математики. – Львов: 1997. – 23 с.
19. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби. В 3-х т. Т1. Периодические непрерывные дроби. // Нац. акад. наук Украины, Ин-т прикл. проблем механики и математики. – Львов, 2004. – 645 с.
20. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби и r/j-алгоритм. – Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ. – 2012. – 608 с.
21. Кириченко Г.А., Шмойлов В.И. Алгоритм суммирования расходящихся непрерывных дробей и некоторые его применения. // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 2015, том 55, №4, С. 558-573.
22. Шмойлов В.И., Редин А.А., Никулин Н.А. Непрерывные дроби в вычислительной математике. – Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ. – 2015. – 228 с.
23. Гузик В.Ф., Ляпунцова Е.В., Шмойлов В.И. Непрерывные дроби и их применение. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2015. – 298 с.
Поступила в редакцию 31.03.2016 г.