ISSN 1991-3087

Свидетельство о регистрации СМИ: ПИ № ФС77-24978 от 05.07.2006 г.

ISSN 1991-3087

Подписной индекс №42457

Периодичность - 1 раз в месяц.

Вид обложки

Адрес редакции: 305008, г.Курск, Бурцевский проезд, д.7.

Тел.: 8-910-740-44-28

E-mail: jurnal@jurnal.org

Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100
Яндекс.Метрика

Об оценке приближенного представления функции

 

Юлдашев С. А.,

старший преподаватель,

Исломов Ё. А.,

старший преподаватель,

Садуллаева М. З.,

преподаватель.

Ташкентский институт проектирования строительства и эксплуатации автомобильных дорог.

 

В теории чисел функция  обозначает число простых чисел, меньших или равных  ([1], с. 333). Указанная функциональная зависимость не может быть представлена в виде аналитического выражения. Для исследования свойств возникает необходимость аппроксимации функции .

В 19 веке А. М. Лежандром и К. Ф. Гауссом были выполнены эмпирические исследования, посвященные приближенному представлению функции . В качестве основы была использована таблица простых чисел. В работах Лежандра и Гаусса рассматривалась задача только о выборе приближающей функции в том или ином смысле близкой к функции .

«В 1808 г. Лежандр опубликовал найденную им эмпирически формулу

дающую приближенные значения функции  при больших значениях ([1], с. 333). «Гаусс еще в юношеские годы вычислял среднюю плотность простых чисел в пределах имевшихся тогда таблиц, и эти вычисления показывали, что именно выражение

является функцией, хорошо аппроксимирующей » ([1], с. 333).

Теоретические исследования аппроксимации функций берут начало от работ П. Л. Чебышева. Он ввел одно из основных понятий теории – понятие наилучшего приближения функции полиномами.

«В 1848 и 1850 гг. появились две замечательные работы П. Л. Чебышева, в которых исследовался вопрос о порядке роста функции . В работе 1850 г. Чебышев доказал, что функция  при больших значениях x заключена между двумя величинами:

Работы Чебышева поставили перед математиками задачу установить асимптотическую оценку для функции  при

. (1)

Формула (1) означает, что

или, что то же самое

,

где  при .

«Чебышев в 1848 г. доказал, что если предел (2) существует, то он может быть равен только 1. Основная трудность заключается в том, чтобы установить существование этого предела, и Чебышеву не удалось этого сделать» ([1], с. 341).

В 1896 г. Адамаром и Валле Пуссеном было получено независимо друг от друга доказательство теоремы, в которой установлено асимптотическое равенство

выражающее, что

или, что то же самое

,

где  при .

точное приближение к , чем ” ([1], с. 341).

Результаты указанных теоретических исследований дают основание применить для аппроксимации функции  в качестве приближающей функции интегральный логарифм .

 Следует отметить, что асимптотическое равенство функций  и  может быть установлено и тогда, когда модуль разности  неограниченно растет при , однако рост  медленней, чем рост  и  ([1], с. 26).

Таким образом, остается открытым вопрос о точности приближения функциик функции. Точность этого приближения можно оценивать по-разному. В основу, естественно, положить рассмотрение разности (отклонения одной из этих функций от другой)

.

В частности, если бы приближение рассматривалось в заданном промежутке, то за меру близости можно было бы принять: максимальное отклонение, либо среднее отклонение, либо среднее квадратичное отклонение.

В данном случае, когда приближение рассматривается при неограниченном росте аргумента, т. е. когда аргумент становится больше любого фиксированного натурального числа, то в качестве оценки принимают функцию , где  для всех достаточно больших x, т. е. при . Тогда асимптотическая оценка модуля разности между  и  имеет вид

. (3)

Равенство (3) означает, что можно найти постоянную , такую, что

для всех достаточно больших x, т. е. при  ([1], с. 26).

Таким образом, возникает необходимость поставки задачи: найти точную оценку с помощью выбора функции .

Существенные результаты в этом направлении были получены Н. Г. Чудаковым. При этом были использованы оценки соответствующих тригонометрических сумм, полученные методом Н. М. Виноградова. Последние работы Н. М. Виноградова и Н. М. Коробова дали следующую оценку

, (4)

где µлюбое положительное число, меньшее  ([1], с. 342).

«Есть предположение, что модуль разности между  и  значительно меньше, чем это дано в формуле (4). Предполагают, что модуль этой разности представляет собой величину порядка” ([1], с. 354).

В настоящей статье ставится задача: эмпирически обосновать численными методами, что модуль разности между  и  представляет собой величину порядка

. (5)

Равенство (5) означает, что можно найти постоянную , такую, что

 (6)

для всех достаточно больших x, т. е. при  ([1], с. 26).

Приведем основные обозначения, используемые для формулировки результатов данной работы.

Обозначим через  – упорядоченное множество простых чисел;  – простое число;  – порядковый номер простого числа; – множество натуральных чисел.

В дальнейшем функция рассматривается как числовая функция ([1], с. 315).

Согласно определению значение функции  можно вычислить по формуле

где суммирование выполняется по всем простым числам , таким, что .

Для рассматриваемой функции характерными точками, определяющими значение функции и в других точках, являются не натуральные значения аргумента , а простые числа.

Действительно, если задано упорядоченное множество простых чисел , то значение функции  может быть вычислено по следующему алгоритму

Алгоритмический способ задания функции  задает правило соответствия, которое устанавливает зависимость функции от двух атрибутов простого числа: значения простого числа и его порядкового номера.

Отметим некоторые свойства функции :

функция имеет бесконечное множество разрывов первого рода в точках  слева;

значения функции в точках  равны  (согласно определению);

значения функции в точках  слева равны ;

скачки функции в точках  слева равны ;

функция сохраняет постоянные значения в частичных промежутках

согласно теорема Евклида ([1], с. 31)  при

при увеличении аргумента значения функции изменяются крайне нерегулярно.

В дальнейшем частные значения функции , которые отвечают частным значениям аргумента , рассматриваются как сложная функция от аргумента k ( интерпретируется как функция натурального аргумента k).

В рамках исследования точности аппроксимации функции , когда в качестве приближающей функции используется функция , выдвинуто предположение, что модуль разности между  и  представляет собой величину порядка

. (2)

Равенство (12) означает, что можно найти постоянную , такую, что

 (3)

для всех достаточно больших x, т. е. при  ([1], с. 26).

Для вычисления значения постоянной A были использованы табличные значения функции . Расчеты выполнены по формуле

Таким образом, для этого предположения оценка модуля разности между  и может быть принята в виде

 при .

Для исследования зависимости параметра A, приведенного в формуле (3), от параметра  были выполнены расчеты. Результаты расчета значений параметра A для нескольких значений параметра  приведены ниже:

 (для справки: );

 (для справки: );

 (для справки: );

 (для справки: );

 (для справки: ).

Следует отметить, что из рассмотренных оценок модуля разности между

,

,

 (4)

оценка (4) принята как более точная.

Эта оценка справедлива на отрезке  и можно предположить, что она допускает экстраполяцию на множество значений x, такое, что .

Заключение. Результаты эмпирических исследований дают основание поставить следующую задачу: доказать, что предельно точная оценка модуля разности между

 и  имеет вид  при .

 

Литература

 

1.                  Бухштаб А.А. Теория чисел. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2008. С. 384.

2.                  Нечаев В.И. Числовые системы. – М.: Просвещение, 2005. С. 199.

 

Поступила в редакцию 28.10.2016 г.

2006-2018 © Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов.
Все материалы, размещенные на данном сайте, охраняются авторским правом. При использовании материалов сайта активная ссылка на первоисточник обязательна.