ISSN 1991-3087

Свидетельство о регистрации СМИ: ПИ № ФС77-24978 от 05.07.2006 г.

ISSN 1991-3087

Подписной индекс №42457

Периодичность - 1 раз в месяц.

Вид обложки

Адрес редакции: 305008, г.Курск, Бурцевский проезд, д.7.

Тел.: 8-910-740-44-28

E-mail: jurnal@jurnal.org

Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100
Яндекс.Метрика

Движение по окружности

 

Берников Василий Русланович,

инженер, г. Нижний Новгород.

 

Рассмотрим равномерное движение точки В массой m с угловой скоростью wо по окружности на двух шарнирно связанных невесомых стержнях ОА и АВ (рис.1).

 

Рис. 1.

 

Если длина стержня АВ < 2R, тогда, очевидно, точка В движется по траектории устойчивого равновесия: окружности радиуса R. При отклонении точки В от состояния равновесия к центру окружности возникает радиальная составляющая скорости, направленная от центра, и возвращает точку В на окружность. При отклонении точки В от состояния равновесия от центра окружности возникает радиальная составляющая скорости, направленная к центру и также возвращает точку В обратно на окружность.

Если вращение стержней произвести в обратную сторону, то из-за прохождения большего пути точки В через определённый промежуток времени стержни примут положение в одну линию, а затем продолжая отставать по времени точка В примет положение устойчивого равновесия противоположное рисунку 1.

Пусть АВ = ОА = R. Точка А, соответственно, и точка В, двигаются по одной окружности с тангенциальным ускорением w с изменяющейся угловой скоростью w на двух шарнирно связанных стержнях ОА и АВ (рис. 2), причём движение к центру ограничено окружностью. Ускорение точки В обеспечивается силой

F = m w.

Треугольник ОАВ равнобедренный, тогда проекция силы F на стержень ВА будет

FВА = m w cos (Y/2).

Радиальная составляющая проекции FВА, действующая на окружность будет

Fр = m w cos (Y/2) sin (Y/2).

 

Рис. 2.

 

При равномерном движении давление радиальной составляющей силы Fр на окружность отсутствует, но оно появляется, если тело отклонить в ту или другую сторону от окружности.

Пусть точка В движется по окружности с замедлением w на двух шарнирно связанных стержнях ОА и АВ (рис. 3), причём движение от центра ограничено окружностью, тогда радиальная составляющая будет действовать на окружность в сторону от её центра (рис. 3).

 

Рис. 3.

 

Точку В, взаимодействующей с окружностью, можно считать внешним телом, но входящей в замкнутую систему, так как данная сила взаимодействия возникает только при наличии подвижной боковой связи с телом, обеспечивающей его вращение. Таким образом, кроме известных внешних сил инерции [2, с.364], [4, с.144] (поступательная, центробежная, кориолисова, фазовая) в замкнутой системе появляется ещё одна внешняя сила – радиальная сила бокового взаимодействия.

 

Рис. 4.

 

Вычислим среднее [1, с.451] значение Fср проекции Fр^ радиальной силы (рис. 4) перпендикулярной диаметру полуокружности для твёрдого тела. Энергия поступательного движения может переходить в энергию вращательного движения и наоборот [3, с.424-428]. Для этого, достаточно вычислить значение для полуокружности движущегося с положительным ускорением тела, так как для полуокружности с замедлением тела будет то же самое значение, но с противоположным направлением

      π

Fср = 1 /π ∫ mwcos(Y/2)sin(Y/2)sinα dα = (2 /π)mwcos(Y/2)sin (Y/2)

     0

или, используя формулу двойного угла из тригонометрии

Fср = mwsinY/π.                                                                                                     (1.1)

Пусть m=1кг; w=5м/с2; Y=90°, тогда

Fср = 1×5×sin90°» 1,59Н.

Теперь вычислим радиальную силу для жидкости (рис. 5). Пусть положительное ускорение начинается с приложением силы в начале полуокружности.

 

Рис. 5.

 

Запишем элементарную функцию радиальной силы, действующей на элемент трубки тора массой m и длиной ℓ:

= (1/2)mwsin(Y).                                                                                         (1.2)

Масса элемента равна плотности потока, умноженной на его объём

m = ρV.                                                                                                              (1.3)

Длина половины тора по средней линии

ℓ = π R,

где π – число пи.

Объём половины тора

V = π2 Rr2 = πR π r2 = ℓ π r2,

где r - радиус трубки тора.

Для элементарного объёма запишем

V = ℓ π r2.

Известно, что для окружности

= RΨ,

тогда

V = π r2 RΨ.                                                                                                        (1.4)

Подставим выражение (1.4) в (1.3) получим:

m = ρ π r2 RΨ.                                                                                                     (1.5)

Теперь подставим (1.5) в (1.2), тогда

= (1/2)ρ π r2 R wsin(Y)Ψ.                                                                            (1.6)

Радиальная сила, действующая в перпендикулярном диаметру полуокружности направлении на один элемент (рис. 5)

^ = ∆Fр sinY= (1/2)ρ π r2 R wsinYsin(Y)Ψ.                                              (1.7)

 

Рис. 6.

 

Так как в жидкости действует сила инерции от каждого элемента на соседний, то необходимо учесть их радиальную составляющую (рис.6)

Fри = ∆mwsin(Y/2).                                                                                           (1.8)

Fри – это радиальная сила инерции, которая действует с последнего элемента на предыдущий. Если количество элементов n, то на k-й элемент действует радиальная сила инерции (n-k)Fри. Радиальная сила инерции, действующая в перпендикулярном диаметру полуокружности направлении на один элемент

Fри = (n-k)mwsin(Y/2)sinY = (n-k)ρ π r2 Rwsin(Y/2)sinYΨ.                    (1.9)

Итак, общая радиальная сила, действующая в перпендикулярном диаметру полуокружности направлении на один элемент будет

Fk^ = ρ π r2 R wsinY[(1/2)sin(Y) + (n-k)sin(Y/2)]Ψ.                                   (1.10)

Уравнение (1.10) решаем приближённым методом для 11 элементов.

Пусть w=5м/с2; r=0,02м; ρ=1000кг/м3; R=0,2м; n=11;Y=18°; Y=(0°,18°,36°,…,180°), тогда общая радиальная сила, действующая в перпендикулярном диаметру полуокружности направлении будет

F^ » 2,3Н.

Если положительное ускорение циркулирующей среды начинается с приложением силы из конца полуокружности, тогда проекция радиальной силы будет действовать в обратном направлении.

Для системы, циркулирующая среда, в которой движется с замедлением по окружности с замедляющей силой в конце циркулирующей среды радиальная сила имеет такое же направление как на рис.5, а с замедляющей силой в начале циркулирующей среды в обратную сторону.

Для системы, циркулирующая среда, в которой движется равномерно по окружности радиальная сила отсутствует.

 

Литература

 

1.                  Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике, 14-е изд., – М.: ООО «Большая медведица», АПП «Джангар», 2001, 864с.

2.                  Сивухин Д. В. Общий курс физики. Т.1. Механика. 5-е изд., стереот. – М.: ФИЗМАТЛИТ., 2010, 560с.

3.                   Хайкин С.Э. Физические основы механики, М.: Наука, 1971, 752с.

4.                  Берников В.Р., Силы инерции и основной закон механики, «Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов», №11 (101), ноябрь 2014, стр.144-165, ISSN 1991-3087.

 

Поступила в редакцию 02.06.2016 г.

2006-2018 © Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов.
Все материалы, размещенные на данном сайте, охраняются авторским правом. При использовании материалов сайта активная ссылка на первоисточник обязательна.