ISSN 1991-3087
Рейтинг@Mail.ru Rambler's Top100
Яндекс.Метрика

НА ГЛАВНУЮ

Одна теорема о гомоморфизмах групп и ее применение во взаимносвязном обучении математики

 

Бахшалиев Яфас Расул оглу,

кандидат физико-математических наук, доцент,

зав. кафедрой алгебры и теории чисел Азербайджанского государственного педагогического университета.

 

Начиная с 30-х годов XIX столетия, появились новые направления в развитии математики, которые имели определяющую роль не только в развитии самой математики, но и в развитии его преподавания. Так, например, теория множества, неевклидовая геометрия, абстрактная алгебра и.т.д.

Интерес преподавания математики появилось после того, как в 1972 в году Феликс Клейн выдвинул свою знаменитую «Эрлагенскую программу». Клейн хотел оживить преподавание, выдвинув в точных науках - в анализе, геометрии и физике - на первое место понятие группы и идею преобразования. Цель математической теории – объединить и изучать то, что инвариантно относительно некоторой группы преобразований. Эти инвариантные элементы образуют ядро теории, которое часто называют «математической структурой» [1, с. 228].

Идеи Ф. Клейна не принимались однозначно в то время математиками. Некоторые считали, что Ф. Клейн внес большой вклад в теорию групп, поэтому естественно преувеличивал до некоторой степени роль понятия группы.

Дальнейшее развитие теории групп и ее применение в различных областях, не только современной математики, но и даже науки современного естествознания показали насколько точно определено направление развития математической науки. Это программа также повлияла на развитие преподавания математики на университетском уровне. В конце 40-х годах XX столетия появившиеся во Франции математическое общество под названием «Бурбаки» определили новые взгляды на саму науку математики и ее преподавание на всех уровнях обучения. Эти идеи нашли отражение в бывших советских школах только после школьной реформы 1969 года. Начиная с 1970-1971 учебного года, в учебном плане университетов были введены элементы современной математики, в том числе элементы абстрактной алгебры.

Тогда уже интенсивно развивались алгебраизация как математических так и естественных наук. Этот процесс продолжается и сейчас. Это можно показать на примере того, как теорема о гомоморфизмах групп применяется во взаимосвязанности изложении теоретических вопросов математики.

Пусть  и  некоторые группы с одинаковым (или разными) основными бинарными операциями. Если  гомоморфизм группы  в (или на) группу  (короче -), то фиксируя  получается уравнения

Dc dc преобразователь

Купите DC DC преобразователь по акции. Доставка по РФ. Спешите

masterkit.ru

ремонт и эксплуатация автомобиля по ссылке

cartradeservice.ru

                                                                                                        (1)

Решить уравнение (1) –значит найти прообразы по заданному образу .

Вполне очевидно, что если , т.е. если  принадлежит образу группы  относительно , то существует хотя бы один прообраз (а может быть прообраз есть один класс). Известна из [2]:

Теорема. Если  гомоморфизм группы  в (или на) группы  и если , тогда всякие решения уравнения (1) можно найти композицией одного частного решения  уравнения (1) на любое решение уравнения

 (-нейтральный элемент)                                                 (2)

Доказательство этой теоремы можно получить как следствие из основной теоремы о гомоморфизмах групп. Но применения этой теоремы очень интересна.

1. Пусть задана система линейных алгебраических уравнений с «» неизвестными над любым полем P

 P                                                                  (3)

 P

При обозначенных

, ,

систему (3) можно записать в следующей векторной форме:

                                                                             (4)

и матричном виде

                                                                           (5)

Легко показать, что система (3) эквивалентна векторному уравнению (4) и матричному уравнению (5).

Однородная система , соответствующая системе (3) имеет вид:

                                                      (6)

векторная форма ее записи имеет вид:

                                                                             (7)

в матричном виде

                                                                                                            (8)

Очевидно, что отображение  является гомоморфизмом линейного пространства P n в P m и поэтому она является гомоморфизмом аддитивных групп этих пространств:

< P n ; +> и < P m ;+>

Значит

A: < P n :+> < P m ;+>

Поэтому можно применить вышеприведенную теорему к системе уравнений (3) (или матричному уравнению (5).

Тогда имеем?

Предложение 1. Если в системе (3) вектор столбец «» принадлежит линейной оболочке системе векторов , тогда всякие решения этой системы можно получить сложением одного частного решения  этой системы с всяким решением соответствующей однородной системы (6) , т.е.  , где .

При этом если основное поле P является конечным полем характеристики «» , то все сказанное остается в силе, только может меняться измерение линейного многообразия порожденного решением этой системы.

2. Пусть задано двучленное уравнение над полем P

 (P *= P )                                                                                 (9)

Здесь рассматриваются два случая:

а) P = -поле комплексных чисел.

Тогда легко видеть, что  является гомоморфизмом на себя мультипликативной группы отличных от нуля комплексных чисел .

Поэтому имеем:

Предложение 2. Если в уравнении (9) , то все решения этого уравнения можно получить умножением одного частного решения  этого уравнения на всевозможные корни уравнения

                                                                                                              (10)

Пример. Найти все решения уравнения .

Одним частным решением этого уравнения является ; корнями же уравнения  являются:

Тогда всеми решениями заданного уравнения будут:

в) Если P конечное поле характеристики , то уравнение (9) не всегда разрешимо. В этом случае мультипликативная группа поля P, т.е P * совпадает с циклической группой -го порядка, образующим элементом которого является один из первообразных корней по модулю , т.е.

Рассмотрим уравнение

 (P *)                                                                                               (11)

Если рассмотреть отображение , то очевидно, что оно отображает группу  в себя и является эндоморфизмом этой группы.

Для того, чтобы уравнение (11) имело решение, необходимо и достаточно , чтобы . Так как  циклическая, то  тоже будет циклична и будет иметь порядок , где  –является делителем  [2].

Если  то «» тоже будет иметь порядок  ([3]).

Тогда имеем :

Предложение 3. Если в уравнении (11)  и , то все решения этого уравнения можно получить умножением одного частного решения  на все решения уравнения

Пример. Найти все решения уравнения  над полем .

По условию  и ; те уравнение имеет решение.

Легко проверить, что 2 является первообразным корнем по модулю .

Легко проверить, что  является решением заданного уравнения, и  являются всем решениями уравнения .

Тогда решением заданного уравнения будут:

; ; ;

 

Литература

 

1. Р. Неванлинна. Реформа в преподавании математики // На путях обновления школьного курса математики (сб. статей и материалов). М., «Просвещение», 1980.

2. Р.Фор, А.Кофман, М. Дени-пипен. Современная математика. М., «Мир», 1960.

3. С. Ленг. Алгебра. М., «Мир», 1968.

4. Н. Бурбаки. Очерки по истории математики. М., Из-во «ИЛ», 1963.

5. Виленкин И.Я и др. Современные основы школьного курса математики. М., «Просвещение», 1980.

6. Бахшалиев Я.Р. , Худавердиева Г.А. О связи курсов алгебры и теории чисел, геометрии и математического анализа на математических факультетах педагогического института // Тезисы всесоюзной научной конференции по проблемам межпредметных связей в подготовке учителей математики и физики в пединститутах. Душанбе, 1978, с. 67-68.

7. Бахшалиев Я.Р. Алгебраические структуры – основы взаимосвязного обучения математики // Доклады Национальной Академии Азербайджана, 2007, № 6, с. 9-14.

 

Поступила в редакцию 09.06.2009 г.

2006-2019 © Журнал научных публикаций аспирантов и докторантов.
Все материалы, размещенные на данном сайте, охраняются авторским правом. При использовании материалов сайта активная ссылка на первоисточник обязательна.