О сравнении по ненулевому рациональному модулю применительно к теореме Ферма

Карпунин Иван Иванович,

доктор технических наук, профессор, профессор кафедры Белорусского национального университета, академик МИА и МАИТ.

ТЕОРЕМА 1. Число регулярных простых чисел бесконечно. В литературе имеются данные о том, что количество простых чисел бесконечно [1,2]

Пусть – произвольная конечная система иррегулярных простых чисел. Теорема будет доказана, если мы найдем иррегулярное простое число

,

отличное от . Где  – регулярное простое; – сомножитель (дробное число>1);  выбрано таким образом, что >. – число числителя чисел Бернулли, – произведение регулярного числа  на ; , где – целое число, полученное при делении числителя чисел Бернулли на иррегулярное число, т. е. ;  ( если не сокращать числитель и знаменатель).

Предположим .

Так как для числа Бернулли  мы имеем [1]

 при

то при достаточно большом натуральном рациональное число  будет по абсолютной величине >1.

Пусть – простое число, входящее в его числитель (при несократимой записи). Если бы , то по теореме Штаудта [1], число входило бы в знаменатель , а это не по выбору числа . Следовательно,  не делит , а поэтому отлично от  (и от 2). Обозначим через  остаток от деления  на , так что . Отсюда следует, что – четное и

Вместе с  число  также не делится на . Воспользовавшись сравнением Куммера [3-5], получим в кольце – целых рациональных чисел сравнение , поэтому

.

Для обоснования разложения иррегулярного простого числа на произведение двух простых сомножителей регулярного простого числа  на сомножитель >1 (дробное число >1). Докажем следующую вспомогательную теорему.

2. Вспомогательная теорема. Если натуральное нечетное составное число  является произведением двух простых натуральных чисел  и  () (1), то оно также является произведением третьего простого натурального нечетного числа  на дробное число >1 (). Если  или  равно 1, то имеем частный случай – простое число ().

Для доказательства заметим, что 1 делит любое натуральное, поэтому достаточно предположить, что >1. Тогда >. Кроме того, также предположим, что равенство (1) выполняется при , т.е. ; ; , где s' – простое число .

Поскольку >1, для числа  имеется предшествующее. Обозначим его . Оно может удовлетворять или не удовлетворять условию >. Если оно ему удовлетворяет, то для него имеется предшествующее, которое мы обозначим . Тогда условие > может выполняться или не выполняться.

Повторение этого процесса привело бы к бесконечно убывающей последовательности чисел, если бы мы на некотором этапе не получили числа  в числителе (как предшествующее предшествующему числу ), для которого  не больше . Но >. Таким образом, на основании принципа бесконечного понижения (спуска), такое число  найдется. Тогда либо , либо <. Если , то  в числителе равно  в знаменателе и случай 1 доказан.

Если же <, то  для некоторого . Так как > >, то отсюда следует, что >. Наконец, если ; где <, то , иначе < или >. Если  (при >) для некоторого  ; >, что противоречит предположению. Аналогичным способом приводится к противоречию случай >. Следовательно,  и . Видно, что . Случай 2 доказан.

Таким образом доказано, что при любых значениях  равенство  не выполняется. Аналогичным образом это относится к случаю, если – простое число (). Это означает, что если  и  простые числа, которые являются сомножителями составного нечетного числа , то это число может также являться произведением простого нечетного числа  на >1. В случае, если бы  являлось простым числом, то аналогично (как и в том случае, если бы  было составным числом) имеем .

Следовательно, если – иррегулярное простое число, т. е. , разделим один из сомножителей на , а другой умножим на , где выбрано таким образом, что >; >1 () (). Тогда

.

Таким образом, – регулярное простое число.

В случае, если , имеем:

.

Для обоснования общей закономерности делимости чисел, когда  есть целое или дробное число (после деления  на ) заметим, что любое натуральное число  делится на  (при ) независимо от того является ли число  дробным или целым [6].

Что касается простого целого иррегулярного числа , то это аналогично (что число  делится на ), где  – всегда дробное число  (при ), где - регулярное простое число.

Поэтому на прямой линии (по масштабу) независимо от того является ли число  целым  или дробным , оно откладывается  раз и в результате (по масштабу) на прямой линии образуется целое число .

В этом общее сходство в закономерности делимости делящегося числа  на  и не делящегося, которым аналогично обладает простое иррегулярное число  при делении его на регулярное простое число , что представляет частный случай деления числа  на , когда не является целым числом.

Это значит, что, если иррегулярное простое число  не делится на регулярное простое число  ( – дробное число ), то имеет место сравнение , аналогично тому, как  (где – целое число ), либо , если – дробное число, равное  (при ). При этом  равноценно сравнению

 c^. а≡0(mod c).

Известно [3-5], что ; но , где , т. е. делится на .

Допустим  не делилось бы на  , то и в этом случае  (h:h₁=h₂) Это означает, что независимо от того делится или не делится  на  (является или не является  произведением двух сомножителей числа классов: ,  делилось бы на дробное число >1, которое являлось бы нецелым.

Аналогично, если  делится на , то в случае, если – иррегулярно, имеем  (где– целое число от деления числителя чисел Бернулли  на иррегулярное ).

В случае, если (где – дробное число >1 от деления числителя чисел Бернулли  на регулярное , то в обоих случаях  независимо от того делит или не делит ) [6].

Из литературы [3-5] известно, что  тогда и только тогда делит числитель числа  (в нашем случае оно обозначено ), когда , если не делит числители чисел Бернулли , то второй сомножитель  в выражении отличен от нуля по модулю (в нашем случае ) в  случаях, т. е.  , но, где  дробное или целое число  не зависимо от того  или несравнимо.

Как известно [5], – число классов эквивалентности дивизоров. Предел одинаков при суммировании по любому классу. Поэтому , где суммирование происходит по всем классам, и равен числу , умноженному на предел , где суммирование распространено на главный класс.

;

– индекс группы единиц вида:  в группе всех единиц. В связи с изложенном выше теорема Ферма соответствует формулировке: «Доказать, что уравнение x^р + y^р = z^р не имеет решений в целых числах при n≥3 не зависимо от того делит или не делит простой показатель р числители чисел Бернулли». Теорема Ферма на основании вышеизложенного доказана.

На основе полученных результатов и имеющихся литературных источников предлагается следующее:

1.                  Доказать, что уравнение xⁿ +yⁿ+z^m +s^m=t^p не имеет решений в целых числах , где x≠y≠z≠s≠t≠0, m,n,p-простые числа; n,m,p≥5; х,y,z,s,t-простые нечетные числа.

2.                  Доказать, является или не является число 1^.2^.3^.5^.7^.11^…m + 1^..3^.5^.7^.11^…n степенью целого числа (то есть 1^.2^.3^.5^.7^.11^…m + 1^..3^.5^.7^.11^…n=z^p), где m≠n≠p≠0, m,n,p – простые числа x≠y≠0.

3.                  Доказать, что любое простое нечетное число m можно представить в виде 2ⁿ + k=m, где n≥1, k-простое нечетное число.

Литература

1.                  Серпинский В. Что мы знаем и чего не знаем о простых числах. М.: Издательство иностранной литературы. Пер. с польского.-1963.- 89 с.

2.                  Воронин С.М. Простые числа. М.: Знание.-1978.-63 с.

3.                  Боревич З.И., Шафаревич Н.Р. Теория чисел. М.: Наука.–1985.– 368 с.

4.                  Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел. М.: – 1980. –Наука– 239 с.

5.                  Эдвардс Г. Последняя теорема Ферма. М.: Мир.–1980.– 480 с.

6.                  Карпунин И.И., Подлозный Э.Д. К вопросу о делимости чисел / Сучаснi проблеми науки та освiти. 8-а Мiжнародна мiждисциплiнарна науково-практична школа-конференцiя. Харькiв – 2007. – С. 80.

Поступила в редакцию 29.05.2014 г.