Актуарные расчеты страховых тарифов
Дорофеев Борис Вячеславович,
кандидат физико-математических наук, доцент.
Санкт-Петербургский государственный университет.
Actuarial insurance rates
Boris Dorofeev,
PhD, Assistant Professor. Saint Petersburg State University.
Работа посвящена методике расчетов нетто-премий по договорам страхования жизни, в которой впервые вводится процентная ставка, как нормальная случайная величина. Получены параметры распределения вводимых случайных величин и на их основе вычисляются тарифы договоров страхования жизни.
Смотрите Охотничье ружье онлайн! Жми и смотри! Бесплатно artemida-hunter.ru
Ключевые слова: страхование жизни, аннуитет, актуарные расчеты.
Article is devoted to methods of calculation of net premiums on life insurance policies, which first introduced the interest rate as a normal random variable. Parameters of the distribution of entered random variables and their rates are calculated based on life insurance contracts.
Keywords: life insurance, annuity, actuarial calculations.
Введение
Актуарные расчеты в страховании – это расчет тарифных ставок в страховании жизни. Они производятся на основе методологии актуарной оценки рисков и вероятностей наступления страховых случаев. Основными факторами, влияющими на методику расчета тарифных ставок по страхованию жизни, являются следующие:
1. Объектом договора страхования является трудоспособность клиента, его здоровье и сама жизнь. Страховой случай – это потеря одного из указанных атрибутов. Количественные показатели, характеризующие продолжительность жизни и вероятность возникновения болезней, учитываемых в договоре, собираются в федеральных и региональных органах статистики и обрабатываются в страховых компаниях. На основании демографической статистики составляются таблицы смертности и аналитические законы демографии. Именно эти данные используются актуариями при расчете тарифных ставок. Продолжительность жизни отдельного человека имеет случайный характер, поэтому при ее оценке используются методы математической теории вероятностей и статистики.
2. Договоры страхования жизни заключаются, как правило, на длительный срок, то есть период времени между уплатой страховой премии и моментами выплат проходит нескольких лет, и они могут длиться до смерти застрахованного лица. В этот период деньги находятся в страховом фонде и его стоимость меняется в зависимости от инфляции и прибыли, получаемой в результате инвестирования. Данный фактор учитывается при расчете тарифных ставок в форме дисконтирования платежей. В настоящей работе предполагается рассмотреть силу роста процента изменения страхового фонда как случайную величину. Будем считать, что в различные периоды времени эта случайная величина различна, но имеет один закон распределения. Самой распространенной и изученной является нормальная случайная величина. Если мало что известно о поведении случайной величины, то обычно при моделировании ее принимают нормально распределенной, так как она обладает замечательными свойствами. В том числе, согласно центральной предельной теореме, сумма одинаково распределенных случайных величин стремится к нормальной.
Страхователь выплачивает страховщику за его услугу страховую премию. Эта брутто-премия состоит из нетто-премии, которая формирует страховой фонд, и нагрузки. Нагрузка служит для покрытия расходов и формирования прибыли страховщика. Нетто-ставка отражает меру риска и представляет главный интерес актуария. Предлагается построить методику расчетов нетто-премий, как точечных и доверительных оценок. Указанные оценки получаются при анализе баланса в модели финансовых потоков, обусловленных случайным характером смерти застрахованного лица и случайной силой роста процента при инвестировании страхового фонда.
Постановка задачи
В рамках предположений, описанных
выше, обозначим через 
– целочисленную случайную
величину продолжительность предстоящей жизни лица, дожившего до возраста х лет.
Ее распределение можно записать в следующем виде
, 
,
где 
–
предельный возраст жизни (100 – 110 лет для различных таблиц смертности). Вероятность
прожить еще 
лет лицу в возрасте 
лет определяется из таблицы смертности,
которой пользуется актуарий страховой компании.
Из свойств вероятности
 |
где 
–
вероятность прожить n лет для лица, прожившего лет.
, 
,
величины 
–
число лиц, доживших до лет из некоторой замкнутой совокупности
людей 
(обычно 100 000 человек), заданы в
таблице смертности.
Требуется определить нетто-премию ежегодных равных платежей до наступления страхового случая (смерти), исходя из принципа эквивалентности финансовых потоков, приведенных к одному моменту времени.
Описание предлагаемого подхода
Обычно в актуарных расчетах
процентная ставка 
роста страхового фонда принимается
детерминированной. Сила роста процента 
определяется из соотношения 
, а коэффициент дисконтирования 
.
Поток единичных ежегодных платежей в течение n лет приведенный к настоящему времени называется современной стоимостью или аннуитетом
.
Современная стоимость бессрочной
ренты 
– случайная величина. Ее математическое
ожидание
.
Подставляя значения срочного
аннуитета и вероятностей, получим точечную оценку нетто-тарифа: 
. Более адекватной является доверительная
оценка 
, где надбавка 
с
большой вероятностью гарантирует, что страхового фонда из 
аналогичных договоров хватит для исполнения
обязательств по выплате ренты. Величина находится
из условия 
и равна 
, где
– квантиль с уровнем доверия 
.
Для вычисления доверительной
оценки необходимо вычислить дисперсию случайной величины 
(Кудрявцев А.А.):
. (1)
Данная работа посвящена методике
получения оценок нетто-премии в условиях предположения о нормальном
распределении силы роста процента. Будем считать, что на -ом периоде времени сила процента
случайная величина
,
где 
–
параметры распределения. Известно, что 
. Тогда
на каждом периоде времени свой коэффициент дисконтирования 
.
Современная стоимость потока единичных платежей будет рассчитываться по формуле
.
Обозначим через 
. Эта случайная величина тоже имеет
нормальное распределение 
.
Введем еще одну случайную
величину 
, 
, тогда величина 
преобразуется 
. В
общем случае стоимость бессрочного аннуитета есть случайная величина 
, зависящая от случайной величины и набора случайных величин 
.
В качестве оценок нетто-премии
найдем точечную и доверительную оценку величины 
– условное математическое ожидание.
Рассмотрим
Обозначим через 
, тогда 
.
Благодаря получившейся формуле математического ожидания следует, что 
. Значит
. (2)
Модель, включающая предположение
о нормальном распределении силы процента имеет смысл, если выполняется 
, то есть параметры 
и 
таковы,
что 
или 
. Для
доверительной оценки необходимо найти дисперсию случайной величины S
.
Первое слагаемое найдем по формуле условного математического ожидания
. (3)
Рассмотрим
.
Исследуем каждое слагаемое:
.
Если обозначить 
, то 
.
Будем предполагать, что случайные
величины 
попарно независимы, то есть 
для 
.
Величины 
и 
зависимы.
Тогда
.
В результате получаем
.
Приведем подобные слагаемые,
вынесем в третьем слагаемом за знак суммы множитель 
и обозначим
через 
, получим
.
Возвращаемся к формуле (3)
.
Аналогично преобразованиям формулы (2), подставляем
Тогда окончательно
.
Заметим, что дисперсия величина положительная,
следовательно, должно выполняться неравенство 
,
отсюда 
, значит 
.
Получаем ограничение на параметры распределения 
.
Заключение
В данной работе решена задача
построения алгоритма вычисления нетто-премий в договорах бессрочного
страхования жизни в условиях случайной силы процента. Предлагаемый подход
позволяет вычислять и иные тарифы в различных договорах страхования жизни,
используя известные соотношения. Заметим, что в предельном случае, когда дисперсия
случайной величины стремится к нулю, сама величина становится детерминированной,
равной своему математическому ожиданию. Полученные формулы нетто-премий
полностью согласуются с известными актуарными соотношениями, то есть если в них
положить 
, то формулы математического ожидания и
дисперсии нетто-тарифов совпадут.
Литература
1. Кудрявцев А.А. Актуарная математика: Оценка обязательств компании страхования жизни. Учебное пособие. – 2-е изд.– СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2005. – 240 с.
Поступила в редакцию 23.01.2014 г.