О сумме двух простых нечетных чисел

Карпунин Иван Иванович,

доктор технических наук, профессор, профессор кафедры Белорусского национального технического университета.

Из [1] и [2, 3] известно, что сумма двух простых нечетных чисел является чётным числом. При этом отсутствует доказательство этого факта.

При делении двух любых нечетных простых чисел (также как и двух нечетных составных чисел) имеем:  + = (с+) + (d+) = c+d +1,т.е. сумма двух простых чисел делится на простое четное число 2. Это означает, что любые нечетные числа (простое или составное) как содержащиеся в последовательности 1, 3, 5, 7, 9, …., 2n-1 не делятся на 2 и в результате всегда в остатке получается . В то время как любое четное число всегда без остатка делится на 2. Указанный факт свидетельствует о том, что сумма двух нечетных чисел есть четное число, так как любое число является четным в последовательности: 2, 4, 6, 8, …, 2n, т.е. делится на 2.

Учитывая, что любые нечётные числа (простые и составные) содержатся в последовательности 1, 3, 5, 7, 9, …., 2n-1, то есть, при делении на 2 выражения 2n-1 имеем: n-1 + (1). В результате всегда получается в остатке  - положительное натуральное число, меньшее на 1. Если же мы имеем последовательность: 1, 3, 5, 7, 9, …., 2m-1, где mn, то тогда имеем m-1 + (2). При сложении выражений (1) и (2) получим: n+m-1. Учитывая, что n=m+s, в этом случае мы имеем: n+m-1 и 2m+s-1. Это указывает на то, что сумма двух нечетных чисел (простое + простое, простое + составное, составное + составное) является четным числом. При сравнении по ненулевому рациональному модулю [4] это означает, что а0(mod ), где = с+; b0(mod ); =d+; a+b0mod() 0(mod k); (a+b): 2 =с+d+1 = k – целое число, где (a+b):2=k – целое число.

Так как а0(mod ), где r = 1, 2, 3, …, а; b=0(mod ), где r = 1, 2, 3, … b, то они сравнимы по ненулевому рациональному модулю, независимо от того а и b или а+b делятся или не делятся на r.

Аналогично это относится и к числам а и b (a,br), где а и b – простые нечётные числа. При этом а:r и b:r всегда дробные числа 1, если а и br. В случае, если а и b = r, то имеем случай, когда числа простые (делятся на 1 и само на себя. Что касается числа (а+b):r=f, то число f может быть как дробным, так и целым, то есть сумма a+b может делиться или не делится на число 3, 4, 5, ....,n-2 (как и чётное число).

Следовательно, можно заметить, что таким свойством деления и сравнения по ненулевому рациональному модулю обладают четные числа. Они могут делиться или не делиться на 3, 4, 5, …. m (на 1 и 2 делится любое четное число). Это означает, что сумма нечётных двух простых, составных, составного и простого чисел обладают тем же свойством, что и чётное число. Вышеизложенное указывает на то, что сумма двух простых нечетных чисел является чётным числом.

Обобщая источники и полученные данные, предлагается следующее для доказательства:

1.                  Доказать, имеет или не имеет решений в целых числах уравнение xⁿ+yⁿ=zⁿ +s^m x≠yzs, n-простое нечетное число, m, n  5.

2.                  Доказать, является или не является число 5² + 2ⁿ простым при n = 2, 4, 8, 16 …….

3.                  Доказать, имеет или не имеет решений в целых числах уравнение x^m + x^m yⁿ+yⁿ=z^p, x≠y0, m, n  5.

4.                  Доказать, имеет или не имеет решений в целых числах уравнение xⁿ +x^n-1y+ …. +y^n-1x +yⁿ=z^m при m, n3. x≠y0, m может быть равным п. При n=2 уравнение х² +ху+у² = z² имеет решение в целых числах при x=5, y=3.

5.                  Доказать, что уравнение (xⁿ+x^n-1y+…+y^n-1x +yⁿ) + (x^m +x^m-1y+….+y^m-1x+y^m) = z^p не имеет решений в целых числах, где m, n, p  5, mnp, m, n, p – простые нечетные числа, x≠y0.

6.                  Доказать, что уравнение (xⁿ +x^n-1y+…+y^n-1x +yⁿ) + (s^m +s^m-1t+….+t^m-1s+t^m) = z^p не имеет решений в целых числах, где m,n,p5, mnp; m, n, p – простые нечетные числа, x≠yst0.

7.                  Доказать, что уравнение (xⁿ +x^n-1y+…+y^n-1x +yⁿ) + (sⁿ +s^n-1t+….+t^n-1s+tⁿ)=z^p не имеет решений в целых числах, где n, p5, np; n, p – простые нечетные числа, x≠yst0.

Литература

1.                  Серпинский В. Что мы знаем и что мы не знаем о простых числах.[пер. с польского]. Изд-во иностр. лит.- 1963.-63 с.

2.                  Воронин С.М. Простые числа. М.: Знание.-1978 – 63с.

3.                  Карпунин И.И., Подлозный Э.Д. // Информационная среда вуза: материалы XVI международной научно-технической конференции. Иваново, 2009.- С.439-443.

4.                  Карпунин И.И., Подлозный Э.Д. О сумме двух простых нечетных чисел.Тринадцята Мiжнародна наукова конференцiя iменi академiка М. Кравчука. Матерiали конференцii. Iнститут математики НАН Украiни. Киiв: 2010.- С.140.

Поступила в редакцию 15.10.2015 г.