О последней теореме Ферма

Бугрий Виталий Андреевич,

Ведущие математики всего мира утверждали, что элементарное доказательство Последней теоремы Ферма во-первых не существует, во-вторых не будет иметь никакого значения для науки. С другой стороны, по мнению Д. Гильберта математическая теория должна быть понятна «любому встречному». Так что вопрос доказательства последней теоремы Ферма в указанном смысле остается открытым. В данной работе изложена еще одна попытка элементарного решения задачи.

Введение

П. Ферма утверждал, что в целых числах невозможно разложить степень zⁿ на две степени xⁿ + yⁿ при натуральном n > 2. Доказательство не было представлено.

Это утверждение не удавалось доказать в течение более 360 лет. Так, например, для доказательства использовали теорию делимости, основанную на единственности разложения натурального числа на простые множители (основная теорема арифметики), были попытки (Э. Куммер) использовать представление xⁿ = zⁿ – yⁿ = (z – λ_ky), k = 1, 2, .., n, где λ₁, λ_2,…– корни n-й степени из единицы. Поиски рациональных точек на кривой Ферма:

uⁿ + vⁿ =1, где u v =  также не имели успеха. Применение матриц, теории групп также не дали желаемого результата. Практически в каждой попытке решения задачи в том или ином виде постулировался контр пример, т. е. уравнение zⁿ = xⁿ + yⁿ, n > 2, или z^р = x^р + y^р, где р – нечетное простое число. Цель заключалась в получении заведомо ложного утверждения. Но не были найдены противоречия ни с какими – либо утверждениями методов, используемых для решения задачи (Л.1,2,3,4,7,8,…).

Безуспешность вариантов доказательства теоремы даже приводила некоторых ученых мужей к мнению о некорректности постановки задачи.

Не трудно показать (Л.2), что теорему Ферма достаточно доказать в случаях, когда n = 4 и n = p. Случай n = 4 был решен Эйлером (и самим Ферма) методом бесконечного спуска. Э.Уайлс доказал (1993г.) (Л.3) гипотезу Шимуры - Таниямы («каждой эллиптической кривой соответствует определенная модулярная форма»), откуда следует теорема Ферма для случая n = p.

Итак, принято считать, что проблема Ферма решена. Но изощренное доказательство Уайлса не прозрачно, сложно даже для профессионалов. Наконец, оно объемно (150 страниц печатного текста) (Л.4). К тому же случаи n = 4 и n = p – это принципиально разные теории. Кроме того, лаконично сформулированная задача должна иметь и решение подобного рода.

Постановка задачи

Начнем с тривиальных фактов. Во-первых, если (вопреки утверждению Ферма) разложение zⁿ = xⁿ + yⁿ для некоторого показателя n > 2 возможно, то не вызывает сомнений тот факт, что числа x, y, z связаны треугольником z < x + y. Во-вторых, любая степень числа с показателем n > 2 без степеней с показателями n = 1 и n = 2 не бывает (например, x³ = x² x). Так что оставлять эти степени без внимания не разумно.

Поскольку в задаче числа подчиняются неравенствам z > x, z > y, интуиция подсказывает, что с ростом показателя, начиная с n = 1, при одной и той же тройке чисел x, y, z степень zⁿ растет быстрее степеней xⁿ и yⁿ в отдельности и при некотором показателе n > 2, очевидно, станет больше суммы xⁿ + yⁿ. Возможно, на этом пути найдется решение.

Решение

Используем обычный подход. Пусть утверждение Ферма не верно. Тогда существуют целые числа x, y, z такие, что при натуральном n

zⁿ = xⁿ + yⁿ, n > 2                                                                                                     (1)

Не изучая уравнение (1), будем считать его частным случаем неопределенного соотношения

zⁿ  xⁿ + yⁿ, n                                                                                                     (2)

где символом  обозначены знаки < , = , >.

Геометрически соотношение (2) при n =  представляет собой треугольник z < x + y, при n = 2 имеем теорему Пифагора (z²  x² + y²), а при

n можно трактовать как зависимость между объемами параллелепипедов с высотами z^n-2,x^n-2, y^n-2 и площадями оснований z², x², y², построенных на сторонах треугольника z < x + y.

Этот треугольник должен удовлетворять условию

z > x > y > 0 (или z > y > x > 0).                                                                            (3)

Условие (3) диктует границы угла в таком треугольнике:

 > x ^ y = α >  .                                                                                                    (4)

Здесь следует заметить, что при α   условие (3) нарушается: треугольник (3) вырождается в равносторонний (x = y = z) или получаем треугольник, где z < x, либо z < y. Все множество треугольников (3) разделим на три подмножества, в которых α >  ,  =  ,  < α <  , соответственно. Используя теорему косинусов, рассмотрим изменения соотношения (2)

с ростом показателя n для любой неизменной тройки чисел x, y, z на каждом из этих подмножеств.

1) α > z < x + y,  z² = x² + y² – 2xy z² > x² + y²,  …, → zⁿ > xⁿ + yⁿ, n > 1. (5)

2) α =  (пифагоровы треугольники ). z z² = x² + y²,  

z³ = z x² + z y²,  z³ > x³ + y³,  …, →zⁿ > xⁿ + yⁿ, n > 2.                                   (6)

3) < α <  z < x + y, z² = x² + y² – 2xy 

  z² < x² + y².                                                                                                         (7)

В треугольнике (7) угол x² ^ y² = β > . Действительно, представим исходный треугольник z < x + y в векторной форме на комплексной плоскости в полярных координатах: z = x – y, где

x = xy = yz = z.

Тогда z² = (x – y)² = x² y² 2xy, где, в частности, X² = x² y² = y² откуда x² ^ y² = 2α = β > . Следовательно, из треугольника (7) получаем

z⁴ = x⁴ + y⁴ – 2 x² y² z⁴ > x⁴ + y⁴, …, →

 zⁿ > xⁿ + yⁿ, n > 3.                                                                                                (8)

Итак, неравенства (5), (6), (8) дают результат:

Zⁿ > xⁿ + yⁿ, n > 3.                                                                                                   (9)

Случай n = 3 решен Эйлером (был известен П. Ферма). Так что в натуральных числах

z³  x³ + y³.                                                                                                              (10)

Примечание

Пусть в целых числах выполняется z³ x³ + y³. Можно записать

(z² = (x )² + (y².

Все множество примитивных решений последнего уравнения определяется формулами (Л.7): z = m² + n², y = m² – n², x = 2mn, где m и n < m – любые натуральные взаимно простые числа разной четности. Тогда из последней формулы следует x³ = q², что в целых числах невозможно.

 Таким образом, неравенства (9) и (10) противоречит уравнению (1), что доказывает последнюю теорему Ферма.

Литература

1.                  П. Ферма. Исследования по теории чисел и диофантову анализу. – М.: Наука, 1992.

2.                  Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. – М.: Наука, 1985.

3.                  Эдвардс Г. Последняя теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел. – М.: Мир, 1980.

4.                  Соровский образовательный журнал, №2, 1998. Ю. П. Соловьев. Гипотеза Таниямы и последняя теорема Ферма.

5.                  Констанс Рид. Гильберт. М.: «Наука», 1977.

6.                  Неопубликованные материалы Л. Эйлера. Рос. АН, С.– П. «Наука», 1997.

7.                  К. Айерленд, М. Роузен. Классическое введение в современную теорию чисел. – М.: Мир, 1987.

8.                  Рибенбойм П. Последняя теорема Ферма для любителей. - М.: МИР, 2003.

Поступила в редакцию 23.12.2015 г.